Сопротивление пластинки-треугольника и квадратов

Треугольник с тремя выводами без активных элементов эквивалентен «звезде» из трех сопротивлений; найдите их из двух данных измерений. Затем используйте симметрию цепи.

Поскольку треугольник содержит три вывода, но не содержит активных элементов, он эквивалентен некоторой «звезде» из трех сопротивлений (см. рисунок). Сопротивления \(r_1\) и \(r_2\) найдем из данных условия \[r_1 + r_2 = r , \qquad 2r_1 = R .\] Отсюда \[r_1 = \frac{R}{2} , \qquad r_2 = r - \frac{R}{2} .\] (отметим, что для данных условия должно быть выполнено неравенство \(2r>R\)).

Теперь возвращаемся к данной в условии цепи. Поскольку она симметрична относительно прямой AB, ток по перемычке, связывающей левый нижний и правый верхний квадраты, не течет, и ее можно удалить из цепи. Более того, если сделать разрезы вдоль диагоналей квадратов так, как показано на рисунке, сохранив только соединение образовавшихся треугольников в вершинах (см. рисунок), сопротивление цепи не изменится, поскольку в первоначальной цепи токи нигде не будут пересекать эти диагонали.

Ну а поскольку каждый треугольник эквивалентен «звезде», то данную цепь можно представить в виде

Соединяя теперь точки, имеющие одинаковый потенциал, видим, что данная цепь эквивалентна следующей цепи

Находя ее сопротивление, получим для сопротивления данной цепи \[X = r_1 + \frac{r_1\,(2r_2+r_1)}{2r_2+3r_1} = \frac{r_1\,(4r_2+r_1)}{2r_2+3r_1} .\] Подставляя \(r_1\) и \(r_2\), получаем окончательно для сопротивления данной цепи \[X = \frac{R\,(8r-3R)}{2\,(4r+R)} .\]