Задачи › Равновесие тел, моменты сил

Бистабильная система

  1. Бистабильная система

    ВсОШ 2022/23, 9 кл.
    6/10

    Исследуйте механические свойства конструкции в виде ромба с пружиной. К середине каждой стороны ромба прикреплены грузы одинаковой массы. Считайте, что пружина подчиняется закону Гука. Массой пружины по сравнению с массой всей подвижной конструкции можно пренебречь. Используйте следующие обозначения:

    • \(2y\) — расстояние между верхним и нижним шарнирами конструкции;

    • \(2x\) — расстояние между левым и правым шарнирами конструкции;

    • \(k\) — коэффициент жёсткости пружины;

    • \(l_0\) — расстояние между левым и правым шарнирами конструкции при ненапряжённой пружине;

    • \(m\) — суммарная масса подвижных частей конструкции;

    • \(F\) — вертикальная сила, которую нужно приложить к верхнему шарниру для обеспечения равновесия конструкции при заданном значении \(y\).

    Рисунок

    В данной работе погрешности оценивать не нужно.

    0. Запишите нечётный номер, указанный в нижней части направляющих конструкции.

    1. Снимите с наибольшей точностью зависимость силы \(F\) от расстояния \(y\) во всём диапазоне возможных значений \(y\). Для каждого измерения \(F\) и \(y\) укажите соответствующую величину \(x\).

    2. Постройте график полученной зависимости \(F(y)\).

    3. Получите теоретическую зависимость между \(F\) и \(x, y, l_0, m, k\). Запишите эту зависимость в виде \(F = \dots\), где выражение справа от знака равенства содержит \(x, y, l_0, m, k\). При выводе теоретической зависимости трением пренебречь.

    4. Используя полученную зависимость \(F(x, y, l_0, m, k)\), а также точки экспериментального графика \(F(y)\), определите величину \(l_0\).

    5. Обозначьте \(W = y\left(2 - \dfrac{l_0}{x}\right)\). Проверьте, является ли функция \(F = F(W)\) линейной.

    6. Постройте график зависимости \(F(W)\). С помощью этого графика определите коэффициент жёсткости пружины \(k\) и массу конструкции \(m\).

    Оборудование: механическая система, закреплённая на столе; линейка; бутылка пластиковая 0,5 л массой 19 г; шприц 20 мл; стакан с водой 0,4 л; нитки; динамометр; миллиметровая бумага А4 для построения графиков; салфетки. Примечание: разбирать механическую систему (отвинчивать гайки, снимать пружину) запрещено!

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Удобно записать работу внешних сил при малом смещении верхнего шарнира и связать смещения \(\Delta x\) и \(\Delta y\) через условие постоянства длины стороны ромба.

    Ответ

    4) \(l_0 \approx 83\) мм;  5) функция линейна, \(F = kW - \dfrac{mg}{2}\);  6) \(k = 26\) Н/м, \(m = 390\) г.

    Решение

    Измерения. Силу \(F\) создаём подвешенной на нити бутылкой, в которую шприцом наливаем известный объём воды: так сила регулируется точнее, чем динамометром во всём диапазоне \(y\) (динамометр сложно держать вертикально). Величину \(2y\) измеряем линейкой, \(2x\) — непосредственно или по теореме Пифагора, предварительно измерив сторону ромба \(a = 190\) мм. Пружина имеет начальное сжатие, её длина начинает расти только после того, как сила \(F\) превысит некоторое значение. Каждому значению \(F\) соответствуют два положения равновесия — верхнее устойчивое и нижнее неустойчивое, поэтому для каждой массы измеряем оба значения \(y\).

    Рисунок
    Рисунок
    Рисунок

    Теоретическая зависимость. Пусть сторона ромба равна \(a\): \(x^2 + y^2 = a^2\). При малом смещении верхнего шарнира вертикальная диагональ уменьшается на \(2\Delta y\), центр масс опускается на \(\Delta y\), горизонтальная диагональ (дополнительное растяжение пружины) увеличивается на \(2\Delta x\). Из условия постоянства стороны \((x+\Delta x)^2 + (y-\Delta y)^2 = a^2\) с точностью до малых первого порядка получаем \[\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{y}{x}.\] Суммарная работа внешних сил равна нулю: \[F\cdot 2\Delta y + mg\,\Delta y - k(2x - l_0)\cdot 2\Delta x = 0,\] откуда \[F = k(2x - l_0)\,\frac{y}{x} - \frac{mg}{2}.\]

    Рисунок

    Определение \(l_0\). Верхнее и нижнее положения равновесия соответствуют одной и той же силе \(F\): \[k(2x_в - l_0)\frac{y_в}{x_в} = k(2x_н - l_0)\frac{y_н}{x_н},\] откуда \[l_0 = \frac{2(y_в - y_н)}{\dfrac{y_в}{x_в} - \dfrac{y_н}{x_н}}.\] Для \(y_в = 174\) мм, \(x_в = 76\) мм, \(y_н = 108\) мм, \(x_н = 156\) мм (при \(F = 2{,}2\) Н) получаем \(l_0 \approx 83\) мм; для другой пары значений результат такой же.

    Линейность. Так как \(2y - l_0\dfrac{y}{x} = y\left(2 - \dfrac{l_0}{x}\right) = W\), то \[F = kW - \frac{mg}{2},\] то есть функция \(F(W)\) линейна. Для построения используем значения нижнего положения равновесия: пружина в этом случае растянута во всём диапазоне измерений. Значения \(W\) приведены в таблице.

    Рисунок
    Рисунок

    По угловому коэффициенту прямой \(k = 26\) Н/м, по пересечению с осью ординат \(m = 390\) г.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх