Крутильные колебания

Решение

A1. Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергии константа. \[W_{k}+W_{p}=\operatorname{const} \qquad(7)\] В колебательном движении кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно. Для крутильных колебаний на бифилярном подвесе квадратом скорости движения вдоль вертикальной оси можно пренебречь по сравнению с квадратом характерной скорости движения трубки в горизонтальной плоскости. Поэтому кинетическую энергию для колебаний на бифилярном подвесе можно записать с помощью выражения \((1)\). Угловой скоростью при этом будет являться первая производная угла поворота трубки \(\phi\). \[W_{k}=\frac{I \dot{\phi}^{2}}{2} \qquad(8)\] Превалирующим же слагаемым в потенциальной энергии является энергия силы тяжести. Так во время поворота трубка поднимается на высоту: \[h=l-\sqrt{l^{2}-a^{2} \phi^{2}}=l\left(1-\sqrt{1-\frac{a^{2} \phi^{2}}{l^{2}}}\right) \qquad(9)\] Так как \(a \phi\ll l\), то можно воспользоваться формулой приближенного вычисления \(6\): \[h=l\left(1-1+\frac{a^{2} \phi^{2}}{2 l^{2}}\right)=\frac{a^{2} \phi^{2}}{2 l} \qquad(10)\] Тогда для потенциальной энергии трубки можно записать: \[W_{p}=m g h=m g \frac{a^{2} \phi^{2}}{2 l} \qquad(11)\] Подставляя найденные выражения в закон сохранения энергии получим: \[\frac{I \dot{\phi}^{2}}{2}+m g \frac{a^{2} \phi^{2}}{2 l}=\operatorname{const} \qquad(12)\] После небольших преобразований приведем полученное выражение к каноническому виду уравнения колебаний: \[\dot{\phi}^{2}+\frac{m g a^{2}}{I l} \phi^{2}=\operatorname{const} \qquad(13)\] Откуда может быть найден период колебаний: \[T_{b}=2 \pi \sqrt{\frac{I l}{m g a^{2}}} \qquad(14)\] Измерим зависимость периода колебаний на бифилярном подвесе от расстояния \(a\).

Ответ:

A2. Построим график зависимости периода \(T_b\) от \(1/a\). в этих координатах график получится линейным с угловым коэффициентом:

\[K_b=2\pi \sqrt{\frac{Il}{mg}}=0.125\pm0.001~с\cdot м \qquad(15)\]Откуда искомое отношение момента инерции трубки к её массе:

\[\frac{I}{m}=\frac{K_b^2 g}{4\pi^2 l}=\left(9.72\pm0.12\right)\cdot 10^{-3}м^2\qquad(16)\]

Ответ:

График зависимости периода \(T_b\) от \(1/a\)

A3. Для крутильных колебаний на одной леске потенциальной энергией в законе сохранения будет являться энергия деформации кручения:

\[W_{k}=\frac{\Gamma \phi^{2}}{2} \qquad(17)\]Тогда закон сохранения энергии примет вид:

\[\frac{I \dot{\phi}^{2}}{2}+\frac{\Gamma \phi^{2}}{2}=\operatorname{const} \qquad(18)\]После небольших преобразований:

\[\dot{\phi}^{2}+\phi^{2} \frac{\Gamma}{I}=\operatorname{const} \qquad(19)\]Откуда период таких колебаний:

\[T_{k}=2 \pi \sqrt{\frac{I}{\Gamma}} \qquad(20)\]Измерим зависимость периода крутильных колебаний лески от ее длины.

Ответ:

A4. С учетом \((5)\) для зависимости периода колебаний от длины лески имеем:

\[T_{k}=2 \pi \sqrt{\frac{I l}{\gamma}} \qquad(21)\]Построим график зависимости периода колебаний \(T_{k}\) от \(\sqrt{l}\).

Ответ:

График зависимости периода колебаний \(T_{k}\) от \(\sqrt{l}\)

Рассчитаем его угловой коэффициент:

\[K_{2}=2 \pi \sqrt{\frac{I}{\gamma}}=75 \pm 1~с/м^{0.5} \qquad(22)\]Откуда удельный модуль кручения:\[\gamma=\frac{4 \pi^{2} I}{K_{2}^{2}}=m \frac{I}{m} \frac{4 \pi^{2}}{K_{2}^{2}}=(2.2 \pm 0.1) \cdot 10^{-6} ~\frac{Н\cdot м^{2}}{рад} \qquad(23)\]

Ответ:

\[\gamma=(2.2 \pm 0.1) \cdot 10^{-6} ~\frac{Н\cdot м^{2}}{рад}\]

A5. Для крутильных колебаний на двойной леске стоит учесть в потенциальной энергии поправку на поднятие трубки за счет скручивания отрезков лески друг относительно друга. В этом случае параметр \(a\) примет значение половины диаметра лески. Диаметр лески оценим методом рядов. Намотаем леску на трубку, сделав \(N=10\) витков. При этом их суммарная толщина составит \(x=4~мм\). Откуда толщина лески:\[d=x / N=0.40 \pm 0.01~мм \qquad(24)\]

Ответ:

\[d=0.40 \pm 0.01~мм\]

A6. Также стоит учесть, что при таких колебаниях деформацию кручения испытывают две нити. Таким образом выражение для потенциальной энергии примет вид:

\[W_{p}=2 \frac{\gamma l \phi^{2}}{2}+m g \frac{(d / 2)^{2} \phi^{2}}{2 l} \qquad(25)\]Откуда закон сохранения энергии можно записать как:

\[\frac{I \dot{\phi}^{2}}{2}+2 \frac{\gamma l \phi^{2}}{2}+m g \frac{(d / 2)^{2} \phi^{2}}{2 l}=\operatorname{const} \qquad(26)\]После небольших преобразований:

\[\dot{\phi}^{2}+\phi^{2}\left(2 \frac{\gamma l}{I}+m g \frac{(d / 2)^{2}}{l I}\right)=\operatorname{const} \qquad(27)\]Тогда для периода таких колебаний можно записать:

\[T=2 \pi\left(2 \frac{\gamma l}{I}+m g \frac{(d / 2)^{2}}{l I}\right)^{-0.5} \qquad(28)\]

Ответ:

\[T=2 \pi\left(2 \frac{\gamma l}{I}+m g \frac{(d / 2)^{2}}{l I}\right)^{-0.5}\]

Или же с учетом предыдущих измерений можно записать:\[\frac{1}{T^{2}}=\frac{2}{T_{k}^{2}}+\frac{1}{T_{b}^{2}} \qquad(29)\] где под \(T_{b}=627~с\) подразумевается период колебаний на первом графике соответствующий \(a=d / 2=0.2~мм\), а под \(T_{k}=49~с\) подразумевается период колебаний на втором графике, соответствующий длине лески \(l=40 ~см\). Такой расчет дает для периода колебаний \(T=34.6~с\), что приблизительно равно \(T_{k} / \sqrt{2}\) так как периоды \(T_{k}\) и \(T_{b}\) отличаются на порядок, а их квадраты на два порядка.

Реальное измерение времени четырёх колебаний для такой системы дает \(4 T=137 \pm 1~с\).

И для одного колебания:

Ответ:

\[T=34.2 \pm 0.3~с\]

Источник: pho.rs/p/4270.