Льдинка с дробинкой

Сколько льда расплавилось? Льдинка начнёт тонуть, когда её средняя плотность с дробинкой станет равна плотности воды; выразите объём льда и дробинки через их массы.

Масса оставшегося после плавления льда \(m_1=m-\dfrac{Q}{\lambda}=0{,}1-\dfrac{32}{340}=\dfrac{1}{17}\) кг. Общий объём \(V=\dfrac{m_1}{\rho_{\text{л}}}+\dfrac{m_{\text{д}}}{\rho_{\text{с}}}\), где \(m_{\text{д}}\) — неизвестная масса дробинки, \(\rho_{\text{л}}=0{,}9\) г/см\(^3\), \(\rho_{\text{с}}=11{,}3\) г/см\(^3\) — плотности льда и свинца.

Лёд с дробинкой начнёт тонуть, когда масса льдинки и дробинки станет равна массе вытесненной воды (сила тяжести равна силе Архимеда): \[m_1+m_{\text{д}}=\rho_{\text{в}}V=\rho_{\text{в}}\left(\dfrac{m_1}{\rho_{\text{л}}}+\dfrac{m_{\text{д}}}{\rho_{\text{с}}}\right),\] где \(\rho_{\text{в}}=1\) г/см\(^3\) — плотность воды. Отсюда \[m_{\text{д}}=m_1\,\dfrac{(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})\rho_{\text{с}}}{(\rho_{\text{с}}-\rho_{\text{в}})\rho_{\text{л}}} =\dfrac{1}{17}\cdot\dfrac{(1-0{,}9)\cdot 11{,}3}{(11{,}3-1)\cdot 0{,}9}\approx 0{,}007~\text{кг}=7~\text{г}.\]