Два шарика на стержнях с шарниром

По горизонтали импульс системы равен нулю, значит, центр масс движется только по вертикали. Используйте закон сохранения энергии для падающего тела и найдите горизонтальную координату центра масс до и после падения.

На систему действуют только вертикальные силы, поэтому горизонтальная проекция скорости центра масс остаётся равной нулю. В момент падения тела массой \(m\) оно движется вертикально, а тела массой \(2m\) и шарнир массой \(3m\) покоятся. Из закона сохранения энергии \[mgl = \frac{mv^2}{2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{2gl} .\]

Систему можно представить как наложение двух симметричных гантелей с массами \(2m\) и \(m\). Центр масс лежит на прямой, соединяющей центры стержней, на вдвое более близком расстоянии к середине горизонтального стержня, чем к середине вертикального. Поэтому в начальный момент центр масс левее шарнира на расстоянии \[\Delta x_1 = \frac{2}{3}\cdot\frac{l}{2} = \frac{l}{3} .\]

После падения шарика массой \(m\) центр масс находится на прямой, проходящей через центры стержней, вдвое ближе к середине левого стержня. Поэтому он левее шарнира на расстоянии \[\Delta x_2 = \frac{l}{2} - \frac{l}{3} = \frac{l}{6} .\] Горизонтальная координата центра масс не меняется, значит, шарнир сдвинулся влево на \[\Delta x_1 - \Delta x_2 = \frac{l}{6} .\] Поскольку расстояние от места падения шарика до нового положения шарнира равно \(l\), шарик упадёт в точке на расстоянии \[\Delta x = l - \frac{l}{6} = \frac{5}{6}\,l\] правее старого положения шарнира.