Два стержня на шарнире и точечной опоре

Равновесие соответствует минимуму потенциальной энергии системы. Выразите её через угол наклона длинного стержня и найдите минимум.

Положение равновесия найдём из условия минимума потенциальной энергии. Пусть угол наклона длинного стержня к горизонтали равен \(\alpha\). Треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому угол наклона короткого стержня к вертикали равен \[\beta = \frac{\pi}{2} - 2\alpha .\]

Потенциальную энергию стержней найдём как сумму энергий материальных точек массами \(m\) и \(2m\) в их центрах масс. Начало отсчёта выберем в шарнире крепления короткого стержня. Тогда \[\Pi_1 = -mg\,\frac{l}{2}\cos\beta = -mg\,\frac{l}{2}\sin 2\alpha .\] Середина длинного стержня находится ниже шарнира на расстоянии \(l\cos\beta - l\sin\alpha\), поэтому \[\Pi_2 = -2mgl\left(\cos\beta - \sin\alpha\right) = -2mgl\left(\sin 2\alpha - \sin\alpha\right) .\] Полная энергия \[\Pi = \Pi_1 + \Pi_2 = -\frac{5}{2}\,mgl\sin 2\alpha + 2mgl\sin\alpha .\] Производная равна нулю: \[\Pi' = -5mgl\cos 2\alpha + 2mgl\cos\alpha = 0 .\] Раскрывая \(\cos 2\alpha\) и используя основное тригонометрическое тождество, получим квадратное уравнение относительно \(\cos\alpha\): \[10\cos^2\alpha - 2\cos\alpha - 5 = 0 .\] Отсюда \[\alpha = \arccos\frac{1+\sqrt{51}}{10} \approx 35{,}5^\circ ,\] второй корень отрицателен, а искомый угол острый.