Неслучайные совпадения

Пусть за время, пока головные вагоны сошлись, а затем разошлись хвосты, Дима прошёл путь \(s\). Выразите длину пути каждой электрички через \(n_i\), \(l\) и \(s\).

Пусть направления скорости движения первой электрички и скорости движения Димы совпадали. На рисунке а) показано расположение поездов в начальный момент времени (\(t_0 = 0\) с), когда поравнялись их головные вагоны (линия \(AB\)). На рисунке б) показано расположение поездов в момент времени \(t\), когда поравнялись хвосты их последних вагонов (линия \(CD\)).

Относительно железной дороги за промежуток времени \(\Delta t = t\) первая электричка проехала путь \[L_1 = n_1 l + s,\] а вторая — путь \[L_2 = n_2 l - s,\] где \(l\) — длина одного вагона, \(s\) — путь, который прошел Дима за время \(t\): \(s = BD = v_0 t\).

Поскольку скорости движения электричек одинаковы, то \(L_1 = L_2 = vt\), где \(v\) — скорость движения каждой электрички. Решая совместно, получим: \[vt = n_1 l + v_0 t, \qquad vt = n_2 l - v_0 t.\] Из полученных уравнений следует, что \[v = \frac{v_0\,(n_1 + n_2)}{n_2 - n_1} = 76~\text{км/ч}.\]