Наполнение сосуда
4/10На дно кубического сосуда со стороной \(a = 20\) см поместили и закрепили на дне на расстоянии \(x = 5\) см прямоугольный брусок со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\). В сосуд стали наливать воду с постоянным объёмным расходом \(\mu = 20\) мл/с так, как показано на рисунке. Юный экспериментатор Миша измерял зависимость высоты столба \(h(t)\) жидкости от времени по линейке, расположенной справа от кюветы. График этой зависимости изображён на рисунке.
Определите:
высоту \(c\) бруска. Ответ дайте в см с точностью до целых;
ширину \(b\) бруска. Ответ дайте в см с точностью до целых;
время \(T\), за которое сосуд заполнится целиком. Ответ дайте в секундах с точностью до целых.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаПока жидкость набирается только справа от перегородки, уровень растёт линейно. Излом графика соответствует моменту, когда вода начала переливаться через брусок.
Ответ1) 12; 2) 8; 3) 304.
РешениеНа первом этапе жидкость набирается только справа от перегородки. Высота столба жидкости: \[h_1(t) = \frac{\mu t}{xa}.\] Данный этап заканчивается в момент первого излома графика — \(t_1 = 60\) с. Высота \(c\) бруска совпадает с показаниями линейки в этот момент: \(c = 12\) см.
На втором этапе жидкость через брусок переливается в отсек слева, и пока этот отсек не заполнится целиком, уровень жидкости не меняется: \[\mu(t_2 - t_1) = (a - x - b)\,a c,\] где \(t_2 = 144\) с. Отсюда \[b = a - x - \frac{\mu(t_2 - t_1)}{ac} = 8~\text{см}.\]
Сосуд заполнится целиком через промежуток времени \(\Delta t\), определяющийся условием \[\mu\,\Delta t = a^2(a - c).\] Тогда полное время заполнения сосуда: \[T = t_2 + \Delta t = t_2 + \frac{a^2(a - c)}{\mu} = 304~\text{с}.\]
Похожие задачи
- Шахтный водосборник ИОШ 2015/16, 9-10 кл.
- Мыло Санкт-Петербургская 2018/19, 7 кл.
- Очень сильный дождь Санкт-Петербургская 2019/20, 8 кл.
- Две бочки и шланг МОШ 2020/21, 7 кл.
- Винни-Пух и ванна Росатом 2023/24, 7 кл.
- Кубик в наполняемом сосуде МОШ 2012/13, 7 кл.