Трёхзвенный механизм (антипараллелограмм)

Поскольку стержень \(AB\) находится в равновесии, со стороны стержня \(BC\) на него действует сила натяжения, компенсирующая внешний момент. Поскольку угол \(ABC\) — прямой, имеем \[M_1 = Tb\] где \(T\) — сила натяжения стержня. Так как такая же сила натяжения действует и на второй конец стержня, условие равновесия стержня \(DC\) дает \[M_2 = Tb\sin(\angle DCB)\] Найдем \(\sin(\angle DCB)\). Плоский четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, но не параллельны, называется антипараллелограммом. Легко доказать, что у антипараллелограмма попарно равны углы. Действительно, если сделать дополнительное построение — провести отрезок \(AC\), то треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны (по трем сторонам). Следовательно, угол \(ADC\) — прямой, и \(BO = OD\). Поэтому, если обозначить \(OD = x\), то \(OB\) — тоже равно \(x\), \(OC = BC - x = a - x\), (где обозначено \(BC = a\)) и по теореме Пифагора имеем \[x^2 = (a-x)^2 - b^2\] Отсюда \[OD = x = \dfrac{a^2-b^2}{2a},\qquad OD = a - x = \dfrac{a^2+b^2}{2a}\] Поэтому \[\sin(\angle DCB) = \dfrac{OD}{OC} = \dfrac{x}{a-x} = \dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\] И, следовательно, \[\dfrac{M_1}{M_2} = \dfrac{1}{\sin(\angle DCB)} = \dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\] Поскольку по условию \(a = 3b\), найдем \[\dfrac{M_1}{M_2} = \dfrac54\]