Вода и пар в закрытом сосуде

Так как вода находится в закрытом сосуде, в сосуде находится насыщенный водяной пар, а вода не кипит. Поскольку температура воды \(t_0 = 100^\circ\)C — давление пара в сосуде равно атмосферному \(p_0 = 10^5\) Па. Поэтому закон Клапейрона–Менделеева для пара дает \[p_0v = \dfrac{m}{\mu}RT_0\] где \(v\) — объем пара в сосуде (объем сосуда минус объем воды), \(m\) — масса водяного пара в первоначальном состоянии, \(\mu = 0{,}018\) кг/моль — молярная масса воды, \(T_0 = 373\) К — абсолютная температура кипения воды.

Когда воде сообщают дополнительное количество тепла часть воды испаряется, давление насыщенного пара становится больше атмосферного и вода нагревается до температуры выше \(t_0 = 100^\circ\)C (температуры кипения при атмосферном давлении). Поэтому сообщенное тепло тратится и на нагревание воды, и на ее испарение. Пусть при сообщении тепла \(Q\) испарилось \(\Delta m\) воды, а вода нагрелась на \(\Delta t\). Тогда \[Q = cM\Delta t + r\Delta m\tag{*}\] (здесь мы пренебрегли изменением массы воды из-за испарения). С другой стороны закон Клапейрона–Менделеева для насыщенного водяного пара дает \[(p_0+\Delta p)v = \dfrac{m+\Delta m}{\mu}R(T_0+\Delta t).\] где \(\Delta p\) — приращение давления насыщенного пара с ростом его температуры на \(\Delta t\). Отсюда находим \[\Delta p\,v = \dfrac{\Delta m}{\mu}RT_0 + \dfrac{m}{\mu}R\Delta t\] С другой стороны, согласно данной в условии зависимости \(\Delta p = \alpha\Delta t\). Поэтому \[\alpha v\Delta t = \dfrac{\Delta m}{\mu}RT_0 + \dfrac{m}{\mu}R\Delta t\qquad\Rightarrow\qquad \Delta t = \dfrac{RT_0\Delta m}{\mu\alpha v - mR}\] В результате из первого закона термодинамики (*) находим \[\Delta m = \dfrac{Q}{cM\,\dfrac{RT_0}{\mu\alpha v - mR} + r}\] Учитывая, что \(m = \mu p_0v/RT_0\), последнюю формулу можно привести к виду \[\Delta m = \dfrac{Q}{\dfrac{cMRT_0^2}{\mu v(\alpha T_0 - p_0)} + r}\] Проведем вычисления, используя следующие данные: \(Q = 1\cdot10^3\) Дж, \(c = 4{,}2\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot\)град), \(M = 0{,}9\) кг, \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)град), \(T_0 = 373\) К, \(\mu = 0{,}018\) кг/моль, \(v = 0{,}1\cdot10^{-3}\) м\(^3\), \(\alpha = 0{,}04\cdot10^5\) Па/град, \(p_0 = 10^5\) Па, \(r = 2{,}3\cdot10^6\) Дж/кг. Имеем \[\Delta m = 0{,}6\cdot10^{-6}\text{ кг}\]