Перегорание проволоки

Решение

1. Для точного определения диаметра медных жил в проволоках измерим их сопротивления. Для этого отрежем от катушки кусок провода длинной \(l\) не менее 1 метра, зачистим его концы и подключим к источнику питания. Будем пропускать через проволоку небольшой ток, порядка \(100~мА\), чтобы она практически не меняла свою температуру. Значение протекающего тока \(I\) будем измерять по дисплею источника питания. Для измерения напряжения \(U\) на проволоке подключим к ней мультиметр в режиме вольтметра. В этом случае напряжение будет измеряться непосредственно на проволоке и не будет включать в себя падение напряжения на контактах подключения источника питания. Рассчитаем сопротивление провода \(R\) как отношение измеренных напряжения и тока.

\[R=\frac{U}{I}\]Чтобы убедиться, что протекающий ток мало нагревает проволоку, можно увеличить ток в два раза и вновь рассчитать сопротивление. Если значения сопротивлений совпадают, то проволока нагревается током несущественно.

Сопротивление проволоки связано с удельным сопротивлением меди, диаметром жилы и ее длиной следующей формулой:

\[R=\rho\frac{4l}{\pi d^2}.\]Тогда диаметр проволоки можно рассчитать как:

\[d=\sqrt{\frac{4l\rho}{\pi R}}=\sqrt{\frac{4l\rho I}{\pi U}}.\]Погрешность диаметра тогда определим как:

\[\sigma_d=d\frac{1}{2}\left(\frac{\sigma_l}{l}+\frac{\sigma_I}{I}+\varepsilon_U \right).\]Погрешность длины при этом примем равной \(\sigma_l=1~см\), так как тяжело провести измерения расстояния между контактами точнее. Погрешность измерения тока \(\sigma_I=3~мА\) примем равной трем единицам последнего разряда показаний источника питания. Погрешность измерения напряжения оценим как \(\varepsilon_U=1\%\) от измеряемой величины.

Занесем данные в таблицу и проведем расчеты.

Ответ:

2. Проведем измерения тока перегорания. Для этого подключим проволоку с зачищенными контактами к источнику питания. Будем постепенно увеличивать протекающий через нее ток. Сначала проволока не будет визуально изменяться, затем начнет плавится и испаряться лак с поверхности провода, а после испарения лака проволока продолжит нагрев и начнет терять жесткость, то есть будут прогибаться под собственным весом. Далее изменится цвет проволоки и она начнет излучать свет в видимом диапазоне. Находясь в этом состоянии, медная жила перегорит при определенном токе. Для более точного определения тока перегорания, будем замыкать контакты источника ножницами и считывать показания с прибора после перегорания провода (при этом источник должен находиться в режиме регулировки тока, а не напряжения).

Подводя каждую проволоку к перегоранию описанным в условии способом, проведем измерения тока перегорания три раза для каждого диаметра проволоки. Занесем данные в таблицу и усредним. Погрешность значения тока найдем как среднее отклонение от среднего значения тока.

Ответ:

3. Построим теоретическую модель, которой можно было бы описать процесс перегорания проволоки. Сделаем предположение, что температура в медной жиле всюду одинакова, как по длине, так и по радиусу. Тогда проволока перегорает при достижении температуры плавления. Предположим также, что мощность теплопотерь пропорциональна площади поверхности проволоки:

\[N_{потерь}=\alpha(T) \pi d l,\]где \(\alpha(T)\) – некоторый коэффициент, зависящий только от температуры проволоки.

Мощность тепловыделения в проволоке можно рассчитать в соответствии с законом Джоуля-Ленца:

\[N_{выдел}=I^2 R=I^2 \rho \frac{4l}{\pi d^2}.\]Если температура проволоки постоянна, то мощность тепловыделения равна мощности теплопотерь:

\[N_{потерь}=N_{выдел}.\]Тогда при температуре плавления \(T=T_{плав}\) можно записать:

\[\alpha(T) \pi d l=I_{пер}^2 \rho \frac{4l}{\pi d^2},\]или

\[I_{пер}=\sqrt{\frac{\alpha(T)\pi}{4\rho}}d^{\frac{3}{2}}.\]То есть ток перегорания должен быть пропорционален диаметру проволоки в степени \(\frac{3}{2}.\) Для проверки этой гипотезы построим график зависимости \(I_{пер}(d^{3/2})\) и рассчитаем погрешность \(d^{3/2}\) как:

\[\sigma_{d^{3/2}}=d^{3/2}\frac{3}{2}\frac{\sigma_d}{d}.\]

4. Ответ:

Ответ:

Видно, что данные на графике можно описать линейной функцией, однако невозможно провести прямую через эти точки таким образом, чтобы она проходила через начало координат. То есть нельзя сказать, что точки описываются прямой пропорциональностью, значит гипотеза оказывается несостоятельной для данных диаметров проволоки.

5. Также можно построить график в логарифмических координатах \(\ln(I))\) от \(\ln(d)\). Абсолютные погрешности точек на графике следует принять равными относительным погрешностям соответствующих величин.

Ответ:

При такой обработке данных точки описываются линейной функцией, но угловой коэффициент зависимости составляет \(k=(1.35\pm0.10)\). Полученное значение меньше \(3/2\), что также говорит о несостоятельности предложенной в условии модели.

Источник: pho.rs/p/4399.