Показатель преломления

Решение

1. Проведение измерений, основанных на размерах самой кюветы, даст крайне неточные значения показателя преломления, так как размеры кюветы малы. Наиболее точным методом измерения тогда является определение критического угла преломления. Соберем установку, изображенную на рисунке 1.

Рис. 1. Установка для измерения показателя преломления воды

Для этого внутрь кюветы поместим кусочек карандаша и вставим в кювету алюминиевый профиль таким образом, чтобы верхняя ее грань была параллельна алюминиевому профилю. Поместим конец профиля с кюветой в неизвестную жидкость, налитую в пенопластовый стаканчик, а второй конец профиля упрем в лапку штатива. Будем наблюдать стенку кюветы обращенную вверх из точки, находящейся на одной вертикали с кюветой. Найдем такой угол наклона кюветы, при котором содержимое кюветы, рассматриваемое из точки наблюдения, пропадает.

Рис. 2. Поиск границы области видимости

Границы области видимости содержимого кюветы определяются лучами, выходящими из кюветы по углом полного внутреннего отражения (рисунок 3):

\[\alpha_{кр}=\arcsin\left(\frac{1}{n_ж}\right)\qquad(1)\]

Рис. 3. Область видимости содержимого кюветы

При выбранном положении кюветы в воде, одна из границ области видимости располагается вертикально. Угол полного внутреннего отражения при этом соответствует углу наклона профиля. Сделаем две отметки на профиле на расстоянии \(l\) друг от друга и измерим их высоты относительно поверхности стола \(h_1\) и \(h_2\). И рассчитаем показатель преломления как:

\[n_ж=\frac{1}{\sin{(\alpha_{кр})}}=\frac{l}{h_2-h_1}.\qquad(2)\]Проведем эксперимент несколько раз и усредним результаты.

Рассчитаем среднее значение показателя преломления из измерений \(< n_ж >=1.48\). Оценим случайную ошибку измерений \(\sigma_{сл}=0.06\).

Основную роль в изложенном методе, однако, играет методологическая ошибка определения пропадания и появления в поле зрения содержимого кюветы. Глаз при этом необходимо сдвигать на расстояние порядка \(1~см\) в ту или другую сторону, а также примерно с той же точностью можно расположить глаз на одной вертикали с кюветой. То есть оценим точность положения глаза в \(2~см\). Расстояние между глазом и кюветой оценим примерно в \(70~см.\) Тогда ошибка измерения критического угла из-за неточности определения вертикали составит:

\[\sigma_{\alpha_{кр1}}\approx\frac{2}{70}=0.03.\]Также есть методическая погрешность, связанная с тем, что стенки кюветы непараллельны друг другу. Оценим величину этого отклонения измерив разницу длин сторон верхнего и нижнего оснований кюветы.

\[\sigma_{\alpha_{кр2}}\approx\frac{0.1}{5.0}=0.02.\] Такая ошибка повлияет на результат измерения показателя преломления как

\[\sigma_{метод}=\left( \frac{1}{\sin{(\alpha_{кр})}}\right)_{\alpha_{кр}} ' \sigma_{\alpha_{кр}}=\]\[=\frac{\cos{(\alpha_{кр})}}{\sin^2{(\alpha_{кр})}}\sigma_{\alpha_{кр}}=n^2\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\sigma_{\alpha_{кр}}=\sqrt{n^2-1}(\sigma_{\alpha_{кр1}}+\sigma_{\alpha_{кр2}})=0.05 \qquad(3)\]Сложим случайную и методологическую ошибки измерения и получим окончательный результат для показателя преломления жидкости:

Ответ:

\[n_ж=1.48\pm0.11\]

2. Для второго измерения \(n_к\) также воспользуемся методом, предполагающим поиск полного внутреннего отражения. Для этого сделаем на профиле отметку маркером, поместим на отметку каплю жидкости и сверху положим кювету. Будем наблюдать со стороны за местом стыка стенок и дна кюветы. С некоторых ракурсов отметка под кюветой будет видна, а с некоторых не будет. Будем искать границу области видимости метки.

Рис. 4. Поиск показателя преломления стенок кюветы

Для этого прижмем линейку к краю стола и будем двигать глаз вдоль линейки, смотря на место стыка дна кюветы и ее стенок. Измерим высоту глаза над поверхностью профиля \(H\) в момент появления отметки. Также измерим расстояние между краем кюветы и линейкой \(L\).

Рис. 5. Поиск показателя преломления стенок кюветы

В толще пластика кюветы лучи, отраженные от одной точки отметки на профиле, распространяются внутри конуса с углом раствора:

\[\alpha'_{кр}=\arcsin{\left(\frac{n_ж}{n_к} \right) }.\qquad(4)\]Крайний луч конуса попадает на стенку кюветы под углом \(90-\alpha'_{кр}\) и выходит из стенки под углом \(\beta\) к горизонтали. Для связи этих углов запишем закон Снеллиуса:

\[n_к \sin(90-\alpha'_{кр})=\sin(\beta).\qquad(5)\]Или с учетом выражения для критического угла и геометрических соотношений:

\[\sqrt{n^2_к-n^2_ж}=\frac{H}{\sqrt{H^2+L^2}}.\qquad(6)\]Тогда коэффициент преломления стенок кюветы:

\[n_к=\sqrt{n^2_ж+\frac{H^2}{H^2+L^2}}.\qquad(7)\]Проведем многократные измерения величин \(H\) и \(L\) и рассчитаем показатель преломления в каждом случае.

Видно, что случайна погрешность мала. Методическая погрешность, связанная с тем, что стенки кюветы неперпендикулярны также мала, поскольку она приводит к тому, что угол падения на стенку кюветы возрастает, но измеряемый угол \(\beta\), оказывается меньше угла преломления на такую же величину. Оценим погрешность определения высоты глаза в \(1~см\).

Рассчитаем погрешность значения показателя преломления методом границ для максимальной высоты \(H\).

\[n_{к max}=\sqrt{1.59^2+\frac{27.5^2}{27.5^2+35^2}}=1.706\] \[n_{к min}=\sqrt{1.46^2+\frac{25.5^2}{25.5^2+35^2}}=1.481 \qquad(8)\] \[\sigma_{n_к}=\frac{n_{к max}-n_{к min}}{2}=0.11\]

Тогда окончательно для коэффициента преломления стенок кюветы:

Ответ:

\[n_k=1.60\pm0.11\]

Источник: pho.rs/p/4402.