Падение в бездну

При вязком трении горизонтальный путь шарика пропорционален начальной горизонтальной скорости. Во втором пункте перейдите в систему отсчёта одного шарика: относительное ускорение направлено против относительной скорости, и относительное движение прямолинейно.

1. Пусть \(m\) — масса шарика, ускорение свободного падения равняется \(\vec g\), а сила сопротивления, действующая на шарик, определяется выражением \(\vec F_\text{с} = -k\vec v\), где \(\vec v\) — скорость движения шарика. Запишем для одного шарика второй закон Ньютона: \[m\vec a = m\vec g - k\vec v.\] Проецируя уравнение на горизонтальную ось \(x\), получим: \[ma_x = -kv_x \implies \Delta x = \frac{mv_{0x}}{k},\] где \(\Delta x\) — установившееся горизонтальное перемещение шарика с начальной горизонтальной компонентой скорости \(v_{0x}\). Если \(v_{0x} = v_0\), где \(v_0\) — начальная скорость шариков при бросании, то \(\Delta x = S\). Тогда для шарика, брошенного под углом \(\alpha\) к горизонту, получим: \[\Delta x = S\cos\alpha.\] Шарики, одновременно брошенные Глюком и Багом горизонтально и под углом \(\alpha = 60^\circ\) к горизонту соответственно так, как показано на рис. 2 в условии задачи, в установившемся режиме движутся вдоль одной вертикальной прямой. Значит, расстояние между плоскостями обрывов \(l = L\cos\varphi = L\sqrt3/2\) является суммой величин горизонтальных перемещений брошенных шариков. Таким образом: \[l = S + S\cos\alpha = \frac{3S}{2},\] откуда: \[L = \sqrt3\,S.\]

2. Первое решение. Запишем второй закон Ньютона для шариков, брошенных Глюком и Багом: \[m\vec a_\text{Г} = m\vec g - k\vec v_\text{Г}, \qquad m\vec a_\text{Б} = m\vec g - k\vec v_\text{Б}.\] Определим ускорение шарика Глюка относительно шарика Бага: \[\vec a_\text{Г} - \vec a_\text{Б} = \vec a_\text{отн} = -\frac{k(\vec v_\text{Г} - \vec v_\text{Б})}{m} = -\frac{k\vec v_\text{отн}}{m} \implies \vec a_\text{отн} = -\frac{k\vec v_\text{отн}}{m}.\] Поскольку относительное ускорение шариков направлено противоположно направлению их относительной скорости — относительная скорость шариков сохраняет своё направление. Значит, относительное движение шариков будет прямолинейным и прекратится, когда они окажутся на одной вертикали. Изобразим траекторию движения шарика Глюка относительно шарика Бага.

Обратим внимание, что линия, соединяющая Глюка и Бага, образует с вертикалью угол \(90^\circ - \varphi = 60^\circ\). Поскольку направление относительной скорости образует угол \(\alpha/2\) с горизонтом, угол между направлением относительного перемещения шариков и линией, соединяющей Глюка и Бага, равен \(\varphi + \alpha/2 = 60^\circ\). Таким образом, показанный на рисунке треугольник является равносторонним. Тогда расстояние \(S_\infty\) между шариками в установившемся режиме составляет: \[S_\infty = L,\] или же: \[S_\infty = \sqrt3\,S.\]

Минимальное расстояние между шариками \(S_{min}\) достигается в момент, когда относительная скорость шариков направлена перпендикулярно соединяющей их линии. Из рисунка находим:

\[S_{min} = L\sin 60^\circ,\] или же: \[S_{min} = \frac{3S}{2}.\]

Второе решение. Введём систему координат \(xOy\), где начало координат \(O\) находится в месте расположения Глюка, ось \(x\) направлена вправо, а ось \(y\) — вертикально вверх. Получим зависимости от времени горизонтальных и вертикальных компонент перемещений одного камня \(\Delta x\) и \(\Delta y\) соответственно. Спроецируем уравнение движения шарика на горизонтальную ось \(x\): \[m\dot v_x = -kv_x \implies \frac{dv_x}{v_x} = -\frac{k\,dt}{m} = -\beta\,dt.\] Пусть \(v_{x0}\) — начальная проекция скорости шарика на ось \(x\). Интегрируя, получим: \[\int\limits_{v_{x0}}^{v_x(t)} \frac{dv_x}{v_x} = \ln\frac{v_x(t)}{v_{x0}} = -\beta t \implies v_x(t) = v_{x0}e^{-\beta t}.\] Интегрируя повторно, получим: \[\Delta x(t) = \int\limits_0^t v_x(t)\,dt = v_{x0}\int\limits_0^t e^{-\beta t}\,dt = \frac{v_{x0}}{\beta}\left(1 - e^{-\beta t}\right).\] Таким образом, разность \(x\) координат шариков Бага и Глюка составляет: \[\Delta x_\text{отн}(t) = x_\text{Б}(t) - x_\text{Г}(t) = L\cos\varphi - \frac{v_0(1 + \cos\alpha)}{\beta}\left(1 - e^{-\beta t}\right).\] С учётом соотношения \(S = v_0/\beta\) получим: \[\Delta x_\text{отн}(t) = L\cos\varphi - S(1 + \cos\alpha)\left(1 - e^{-\beta t}\right).\] Спроецируем уравнение движения шарика на ось \(y\), направленную вертикально вверх: \[m\dot v_y = -mg - kv_y \implies \frac{dv_y}{\dfrac{mg}{k} + v_y} = -\frac{k\,dt}{m} = -\beta\,dt.\] Пусть \(v_{y0}\) — начальная проекция скорости шарика на ось \(y\). Интегрируя, получим: \[\int\limits_{v_{y0}}^{v_y(t)} \frac{dv_y}{\dfrac{mg}{k} + v_y} = \ln\frac{mg + kv_y(t)}{mg + kv_{y0}} = -\beta t \implies v_y(t) = -\frac{mg}{k} + \left(\frac{mg}{k} + v_{y0}\right)e^{-\beta t}.\] Для \(\Delta y(t)\) имеем: \[\Delta y(t) = \int\limits_0^t v_y(t)\,dt = \int\limits_0^t \left(-\frac{mg}{k} + \left(\frac{mg}{k} + v_{y0}\right)e^{-\beta t}\right)dt,\] откуда: \[\Delta y(t) = -\frac{mgt}{k} + \frac1\beta\left(\frac{mg}{k} + v_{y0}\right)\left(1 - e^{-\beta t}\right).\] Таким образом, разность \(y\) координат шариков Бага и Глюка составляет: \[\Delta y_\text{отн}(t) = y_\text{Б}(t) - y_\text{Г}(t) = L\sin\varphi + \frac{v_0\sin\alpha}{\beta}\left(1 - e^{-\beta t}\right).\] С учётом соотношения \(S = v_0/\beta\) получим: \[\Delta y_\text{отн}(t) = L\sin\varphi + S\sin\alpha\left(1 - e^{-\beta t}\right).\] При \(t \to \infty\) имеем: \[\Delta x_\text{отн}(\infty) = L\cos\varphi - S(1 + \cos\alpha) = 0,\] \[\Delta y_\text{отн}(\infty) = L\sin\varphi + S\sin\alpha = S\sqrt3.\] Таким образом \(S_\infty = \Delta y_\text{отн}(\infty)\), а значит: \[S_\infty = S\sqrt3.\]

Пусть \(\left(1 - e^{-\beta t}\right) = z\). Тогда для расстояния \(r(z)\) между камнями имеем: \[r(z) = \sqrt{\Delta x_\text{отн}^2(z) + \Delta y_\text{отн}^2(z)} = \sqrt{\bigl(L\cos\varphi - zS(1 + \cos\alpha)\bigr)^2 + (L\sin\varphi + zS\sin\alpha)^2}.\] Раскрывая скобки, получим: \[r(z) = \sqrt{L^2 + 2z^2S^2(1 + \cos\alpha) - 2LSz\bigl(\cos\varphi(1 + \cos\alpha) - \sin\varphi\sin\alpha\bigr)}.\] Подставляя углы \(\alpha\), \(\varphi\), а также расстояние \(L\): \[r(z) = S\sqrt{3(1 + z^2 - z)}.\] Расстояние достигает своего минимума при минимальном значении подкоренного выражения, которому соответствует вершина параболы: \[z_{min} = \frac12.\] Таким образом: \[S_{min} = \frac{3S}{2}.\]