Термоэлектричество

В этой задаче мы рассмотрим три основных термоэлектрических эффекта: закон Джоуля-Ленца, эффекты Зеебека и Пельтье.

Закон Джоуля-Ленца. При направленном движении носителей заряда они передают часть энергии в колебательное движение кристаллической решетки, поэтому кристалл нагревается. Этот процесс — необратимый.

Эффект Зеебека наблюдается в термопаре, состоящей из двух разных проводников \(A\) и \(B\), спаянных друг с другом (рис. 1а) либо соединенных через промежуточный материал \(C\) (рис. 1b). Когда спаи термопары поддерживаются при разных температурах \(T_1\) и \(T_2\) (рис. 1), в системе возникает ЭДС\[\epsilon=\alpha(T_1-T_2),\]где \(\alpha\) — коэффициент Зеебека термопары и считается, что он не зависит от температуры.

Рис. 1

a) Два спая термопары

b) Соединение проводников через промежуточный материал:

1) Нагреватель (\(T_1\))

2) Холодильник (\(T_2\))

Эффект Пельтье. Если через термопару пропустить ток, то, в зависимости от направления, куда он течет, на спае может выделяться или поглощаться тепло. Соединение проводников термопары может быть как прямым (рис. 2а), так и через промежуточный материал (рис. 2b). Выделяемая (или поглощаемая) на спаях мощность \(q\) записывается следующим образом:\[q=\pi I,\]где \(\pi\) — коэффициент Пельтье. Эффекты Зеебека и Пельтье — обратимые. Цепь, показанная на рисунке 2b, может использоваться как холодильник, причем тепло отбирается у одного из спаев и выделяется на другом. Излучением, конвекцией и теплопроводностью можно пренебречь. Вся теплопередача происходит внутри тепловых резервуаров и термопары.

Рис. 2

a) Два спая термопары

b) Соединение проводников через промежуточный материал

Для численных расчетов в Таблицах 1 и 2 приведены значения тепловых и электрических характеристик материалов.

Термопара AB

Теплопроводность и термоэлектрический генератор

Часть A. Теплопроводность в однородном проводнике (1.75 баллов)

Вдоль однородного проводника течет ток силой \(I\) (рис. 3). Удельное сопротивление материала \(\rho\), коэффициент теплопроводности \(k\). Координаты концов проводника: \(x=0\) и \(x=L\). Температуры концов проводника поддерживаются постоянными и равными \(T_1\) при \(x=0\) и \(T_2\) при \(x=L\) (\(T_1>T_2\)).

Рис. 3

Тепловой поток \(q(x)\), т.е. количество теплоты, проходящее по нормали к площадке \(S\) в единицу времени, описывается законом Фурье (одномерный случай):\[q(x)=-kS\frac{\mathrm dT(x)}{\mathrm dx},\]где \(k\) — коэффициент теплопроводности, а \(S\) — площадь поперечного сечения.

A1. Найдите распределение температуры \(T(x)\) вдоль стержня. Считайте, что распределение стационарно, а также что нет потерь тепла в окружающую среду.

Примечание. Уравнение вида \({\mathrm d^2T(x)}/{\mathrm dx^2}=a\) имеет решение вида:\[T(x)=\frac{1}{2}ax^2+C_1x+C_2,\]где \(C_1\) и \(C_2\) — постоянные, определяемые из граничных условий.

A2. Найдите тепловой поток \(q(x)\) в произвольной точке \(x\), а также рассчитайте его на концах: \(q(0)\) и \(q(L)\).

Часть B. Связь коэффициентов Зеебека и Пельтье (1.5 балла)

Рассмотрим термопару (рис. 1b), у которой коэффициент Зеебека равен \(\alpha\). Ее коэффициенты Пельтье равны \(\pi_1\) и \(\pi_2\) на горячем (\(T_1\)) и холодном (\(T_2\)) спаях термопары соответственно. Выделением джоулева тепла можно пренебречь. Считайте, что электронный газ в проводниках термопары совершает идеальный цикл.

B1. Какую тепловую мощность \(q_1\) получает газ от нагревателя температурой \(T_1\)?

B2. Какую тепловую мощность \(q_2\) газ отдает холодильнику температурой \(T_2\)?

B3. Какая полная электрическая полезная мощность \(P\) производится электронным газом, если коэффициент Зеебека равен \(\alpha\)?

B4. Выразите коэффициент Пельтье \(\pi\) на спае термопары через коэффициент Зеебека \(\alpha\) и температуру спая \(T\).

Часть C. Термоэлектрический генератор (1.5 балла)

Рис. 4. Термоэлектрический генератор

1) Нагреватель (\(T_1\))

2) холодильник (\(T_2\))

Внимание! Здесь и далее коэффициент Пельтье \(\pi\) примите равным \(\alpha T\). Также везде нужно будет учитывать выделяющееся джоулево тепло.

Термопара состоит из двух проводников \(A\) и \(B\) одинаковой длины \(L\) (рис. 4). Параметры проводников, соответственно, равны: площади поперечного сечения \(S_A\) и \(S_B\), удельные сопротивления \(\rho_A\) и \(\rho_B\), коэффициенты теплопроводности \(k_A\) и \(k_B\). Нижние концы стержней подключены к нагрузке \(R_L\). Параметры термопары таковы:

• \(\alpha\) — коэффициент Зеебека,

• \(R={\rho_AL}/{S_A}+{\rho_BL}/{S_B}\) — ее внутреннее сопротивление,

• \(K={k_AS_A}/{L}+{k_BS_B}/{L}\) — ее коэффициент теплопроводности.

Верхний спай термопары поддерживается при температуре \(T_1\), нижний — при \(T_2\), причем \(T_1>T_2\). Обозначим \(q_1\) полную тепловую мощность, забираемую у нагревателя (\(T_1\)), а \(q_2\) — полную тепловую мощность, получаемую холодильником (\(T_2\)).

C1. Выразите \(q_1\) и \(q_2\) через параметры термопары \(\alpha, K, R\), температуры \(T_1, T_2\) и силу тока \(I\).

КПД термоэлектрического генератора определяется как \(\eta={P_L}/{q_1}\), где \(P_L\) — мощность, выделяющаяся на нагрузке. Отношение сопротивлений нагрузки и термопары обозначается \(m={R_L}/{R}\).

C2. Выразите КПД \(\eta\) генератора через параметры термопары \(\alpha\), \(K\), \(R\), температуры \(T_1\), \(T_2\) и отношение сопротивлений \(m\).

При производстве термоэлектрических генераторов необходимо удовлетворить следующим условиям:

1. минимизировать сопротивление, чтобы уменьшить выделение джоулева тепла;

2. обеспечить низкую теплопроводность, чтобы уменьшить теплопередачу между спаями, и

3. сохранять большую разность температур.

Совместно это характеризуется показателем качества термопары \(Z={\alpha^2}/{KR}\).

C3. Выразите КПД \(\eta\) генератора через \(Z\), КПД идеального цикла Карно \(\eta_c={(T_1-T_2)}/{T_1}\), температуру \(T_1\) и \(m\).

Часть D. Максимальный КПД генератора (1.25 балла)

D1. Обозначим \(\eta_P\) КПД генератора, когда на нагрузке выделяется максимальная мощность \(P_L=P_{\mathrm{max}}\). Выразите \(\eta_P\) через \(Z\), \(T_1\), \(T_2\).

D2. КПД генератора достигает максимума \(\eta=\eta_{\mathrm{max}}\) при некотором значении отношения сопротивлений \(m=M\). Выразите это \(M\) через \(Z\), \(T_1\), \(T_2\).

D3. Выразите максимальный КПД \(\eta_{\mathrm{max}}\) через \(Z\), \(M\), \(T_1\), \(T_2\).

Часть E. Максимальный показатель качества термопары (0.75 балла)

Увеличение показателя качества термопары приводит к увеличению КПД генератора. При производстве термопар площади поперечного сечения \(S_A\) и \(S_B\) проводников подбираются так, что показатель качества получается максимальным \(Z=Z_m\).

E1. Найдите отношение площадей поперечного сечения \(S_A/S_B\) проводников, когда показатель качества термопары максимален. Ответ выразите через \(\rho_A\), \(\rho_B\), \(k_A\), \(k_B\).

E2. Выразите максимальный показатель качества термопары \(Z_m\) через \(\alpha\), \(\rho_A\), \(\rho_B\), \(k_A\), \(k_B\).

Часть F. Оптимальный КПД генератора (0.75 балла)

Если показатель качества термопары и электрическая мощность, выделяющаяся на нагрузке, максимальны одновременно, то такой режим работы генератора называется оптимальным. Обозначим \(\eta_{opt}\) КПД такого генератора.

Пусть нагреватель имеет температуру \(T_1=423~К\), а холодильник — \(T_2=303~К\).

F1. Вычислите значение \(\eta_{opt}\) термоэлектрического генератора, который изготовлен из материалов, характеристики которых приведены в Таблице 1.

Сравните вычисленное значение с КПД идеальной тепловой машины \(\eta_c\).

F2. Вычислите значение максимального КПД \(\eta_{\mathrm{max}}\) термоэлектрического генератора, изготовленного из указанных материалов.

Термоэлектрический холодильник

Часть G (0.75 балла)

Термопара с параметрами \(\alpha\), \(K\), \(R\), определенными в части C. Термоэлектрический генератор , используется как холодильник (рис. 5).

Верхний спай термопары соприкасается с теплым резервуаром начальной температуры \(T_1\). Резервуар теплоизолирован от окружающей среды, и его хотят охлаждать. Нижние концы проводников всегда поддерживаются при температуре \(T_2\) и подключены к источнику тока. Направление тока, текущего через спай термопары, такое, что у верхнего, теплого, резервуара теплота поглощается, а выделяется внизу.

Рис. 5. Термоэлектрический холодильник.

1) Изолированный теплый резервуар (\(T_1\))

2) Холодный резервуар (\(T_2\))

G1. \(q_C\) — это полная тепловая мощность, которая отбирается от теплого резервуара. Выразите \(q_C\) через параметры термопары \(\alpha\), \(K\), \(R\) и \(T_1\), \(T_2\), \(I\).

G2. Найдите максимальную разность температур \(\Delta T_{\max}=T_2-T_{1\min}\), которой можно достичь, используя термоэлектрический холодильник. Ответ выразите через показатель качества термопары \(Z\) и наинизшую температуру \(T_{1\min}\) верхнего резервуара, до которой его можно охладить.

Часть H (0.75 балла)

Термопара изготовлена из материалов \(A\) и \(B\) с наилучшим показателем качества \(Z_m\) (найденным в части А). Эта термопара используется в качестве холодильника.

H1. Найдите и рассчитайте численное значение минимальной температуры \(T_{1\min}\) верхнего резервуара, если нижние концы поддерживаются при температуре \(T_2=300~К\).

H2. Найдите и рассчитайте численное значение рабочей силы тока \(I_w\) холодильника, когда верхний резервуар можно охладить до минимальной температуры \(T_{1\min}\). Нижние концы поддерживаются при температуре \(T_2=300~ К\). Считайте, что площади поперечного сечения равны \(S_A=S_B=10^{-4}~м^2\).

Часть I. Холодильный коэффициент (1 балл)

Когда разность температур меньше своего возможного максимального значения \(\Delta{T_{\max}}\), вводится холодильный коэффициент. Он определяется как \(\beta={q_C}/{P}\), где \(P\) — подводимая электрическая мощность.

I1. Выразите холодильный коэффициент \(\beta\) через параметры термопары \(\alpha\), \(K\), \(R\) и \(T_1\), \(T_2\), \(I\).

I2. Когда холодильный коэффициент достигает максимального значения \(\beta_{\mathrm{max}}\), сила тока, текущего через термопару, равна \(I_{\beta}\). Выразите \(I_{\beta}\) через параметры термопары \(\alpha\), \(k\), \(R\) и \(T_1\), \(T_2\).

I3. Найдите максимальное значение холодильного коэффициента \(\beta_{\mathrm{max}}\).