Взвешивание без весов

Подумайте, как связаны изменение уровня воды внутри пробирки и изменение глубины её погружения, и какие величины можно измерить независимо от плотности стекла.

Для того, чтобы пробирка плавала вертикально, нужно налить в неё некоторое количество воды. Та часть пробирки, для которой мы проводим измерения глубины погружения, должна быть цилиндрической. Для измерения требуемых уровней воды наклеим на пробирку с помощью скотча полоску миллиметровой бумаги, которая будет служить нам шкалой. Параметры \(x\) и \(y\) можно измерять относительно произвольного фиксированного уровня.

Пусть начальный объём воды в пробирке равен \(V_{1,0}\), а начальный объём вытесненной пробиркой воды равен \(V_{2,0}\). Тогда текущий объём воды в пробирке \(V_1\) равен \[V_1 = V_{1,0} + \dfrac{\pi d^2}{4}\,x,\] а текущий объём вытесненной пробиркой воды \(V_2\) равен \[V_2 = V_{2,0} + \dfrac{\pi D^2}{4}\,y.\] По закону Архимеда: \[(m + \rho_0 V_1)\,g = \rho_0 V_2\,g.\] Подставив выражения для \(V_1\) и \(V_2\) в закон Архимеда, получим: \[m + \rho_0\Bigl(V_{1,0} + \dfrac{\pi d^2}{4}\,x\Bigr) = \rho_0\Bigl(V_{2,0} + \dfrac{\pi D^2}{4}\,y\Bigr).\] Из этой формулы видно, что \(y\) линейно зависит от \(x\), то есть угловой коэффициент на графике равен \[k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{d^2}{D^2}.\] В нашем случае \(k = 0{,}73 \pm 0{,}05\), откуда \[\dfrac{d}{D} = \sqrt{k} = 0{,}85 \pm 0{,}03.\]

Обмотав пробирку кусочком миллиметровой бумаги, определим периметр \(P = \pi D = 50{,}0 \pm 1{,}0\) мм. Тогда внешний диаметр \(D = 15{,}9 \pm 0{,}3\) мм. Внутренний диаметр пробирки можно измерить, долив в неё шприцем воду и измерив изменение уровня \(\Delta x\). Объём налитой воды \(\Delta V_1 = \dfrac14\pi d^2\,\Delta x\) нам известен, поскольку мы наливаем её шприцем. У нас получилось \(d = 14{,}0 \pm 0{,}7\) мм.

Объёмы \(V_1\) и \(V_2\) можно измерить непосредственно: воду в пробирку мы заливаем шприцем, а объём вытесненной воды найдём, погружая малую пробирку в большую на ту же глубину. Тогда масса пробирки \[m = \rho_0 (V_2 - V_1).\] Делаем это для 4–5 значений \(y\) и проводим усреднение: \(m = 16{,}1 \pm 0{,}3\) г.

С помощью большой пробирки и шприцев найдём внутренний \(V_{1,\max}\) и внешний объём \(V_{2,\max}\) исследуемой пробирки. Тогда объём стекла пробирки \(V = V_{2,\max} - V_{1,\max}\). Полученное нами значение: \(V = 7{,}5 \pm 0{,}3\) мл. Находим плотность стекла: \[\rho = \dfrac{m}{V} = 2{,}15 \pm 0{,}12~\text{г/см}^3.\]