Спутник

Радиус орбиты найдите из равенства силы тяжести центростремительной силе и периода суток; предельная точка видимости — точка касания луча зрения с Землёй, то есть прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной радиусу орбиты.

\(d=2r\arccos\dfrac{r}{R}\approx18\,000\) км, где \(R\approx42\,400\) км.

Центростремительной силой, действующей на спутник на орбите, является сила гравитационного притяжения спутника Землёй. Получаем \[\frac{mv^2}{R}=\frac{GMm}{R^2},\] где \(m\) — масса спутника, а \(R\) — радиус орбиты. Так как геостационарный спутник не движется относительно Земли, период его обращения тоже должен быть равен 24 ч. Получаем \(v=\dfrac{2\pi R}{t}\). Из этих уравнений получаем \[4\pi^2R^3=GMt^2\quad\Rightarrow\quad R=\sqrt[3]{\frac{GMt^2}{4\pi^2}}=42\,400\ \text{км}.\] Центр Земли, спутник и произвольная точка, находящаяся на краю видимой со спутника области Земли, образуют прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус орбиты спутника, а одним из катетов — радиус Земли. Угол при центре Земли получаем \(\alpha=\arccos\dfrac rR\), но так как нас интересует диаметр видимой со спутника области, нужно найти угол \(2\alpha\). Длина дуги на поверхности Земли, соответствующая этому углу, равна \(d=2r\alpha\) (если угол в радианах). В итоге получаем \[d=2r\arccos\frac{r}{\sqrt[3]{\dfrac{GMt^2}{4\pi^2}}}=18\,000\ \text{км}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.