Велосипедист

Скорость ветра относительно земли — векторная сумма измеренной скорости и скорости велосипедиста; изобразите оба случая одним треугольником скоростей с общим вектором ветра.

\(w\approx14\) км/ч.

Измеряемый велосипедистом ветер \(\vec w'\) есть разность вектора скорости ветра относительно земли \(\vec w\) и вектора скорости велосипедиста относительно земли \(\vec v\): \(\vec w'=\vec w-\vec v\). Пусть векторы скорости велосипедиста — \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\), а векторы измеренного ветра — \(\vec w_1'\) и \(\vec w_2'\) соответственно при езде в одну и в другую сторону.

В данном случае нам известны только величины скоростей, но не их направления. Зная это, а также то, что измеренная скорость ветра одинакова при движении в обе стороны, можно представить векторы скоростей в виде равнобедренного треугольника (обе его половины соответствуют езде в разные стороны и отвечают упомянутой выше формуле, так как вектор ветра в обоих случаях один и тот же, а скорости параллельны; построить его можно так, как на рисунке).

Из теоремы косинусов: \[\begin{cases} |\vec w|^2=|\vec w_1'|^2+|\vec v_1|^2-2|\vec w_2'||\vec v_1|\cos\alpha,\\ |\vec w|^2=|\vec w_2'|^2+|\vec v_2|^2-2|\vec w_2'||\vec v_2|\cos\alpha. \end{cases}\] Зная, что \(|\vec v_2|=2|\vec v_1|\) и что \(|\vec w_1'|=2|\vec w_2'|\), умножим первое уравнение на два и вычтем из него второе: \[|\vec w|^2=|\vec w_1'|^2-2|\vec v_1|^2 .\] То есть действительная скорость ветра равна \[|\vec w|=\sqrt{|\vec w_1'|^2-2|\vec v_1|^2}\approx14\ \text{км/ч}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.