Футболисты

Чтобы мячи встретились, у них должны совпадать составляющие скорости вдоль вертикали и поперёк линии футболистов; найдите наибольшую дальность полёта и пересеките окружность этого радиуса с серединным перпендикуляром.

Отрезок серединного перпендикуляра к линии футболистов длиной \(l=2\sqrt{\dfrac{v^4}{g^2}-\dfrac{d^2}{4}}\approx41\) м.

Рассмотрим начальные скорости мячей по составляющим. Пусть у 1-го мяча вертикальная составляющая начальной скорости \(v_{1\text{верт}}\), горизонтальная составляющая вдоль прямой, соединяющей футболистов, \(v_{1\text{вдоль}}\) и перпендикулярно этой прямой \(v_{1\text{поперёк}}\). Для 2-го мяча соответствующие составляющие — \(v_{2\text{верт}}\), \(v_{2\text{вдоль}}\), \(v_{2\text{поперёк}}\). В момент столкновения оба мяча должны пройти в поперечном направлении одинаковое расстояние. Так как поперечная скорость мячей не меняется, должно выполняться \(v_{1\text{поперёк}}=v_{2\text{поперёк}}\).

Для столкновения мячи должны оказаться и на одной высоте. Это условие, очевидно, выполнено, если начальные вертикальные скорости мячей равны, и тогда мячи в любой момент времени находятся на одной высоте. Допустим, что мячи могут оказаться на одной высоте в некоторый момент и в том случае, если, например, начальная вертикальная скорость первого мяча меньше. Время подъёма мячей вычисляется по формуле \(t=v_{\text{верт}}/g\). Значит, первый мяч с меньшей вертикальной начальной скоростью возвращается раньше. Когда второй мяч наконец начинает опускаться, первый уже движется к земле. Так как оба мяча ускоряются одинаково с ускорением свободного падения, то при спуске скорость первого мяча всегда больше, и второй мяч не догонит его за время пребывания мячей в воздухе. Значит, столкновение при разных вертикальных скоростях невозможно, и должно выполняться \(v_{1\text{верт}}=v_{2\text{верт}}\).

Так как начальные скорости были равны по модулю и \(v^2=v_{\text{верт}}^2+v_{\text{вдоль}}^2+v_{\text{поперёк}}^2\), то и продольные составляющие начальных скоростей должны быть равны по абсолютной величине. Возможные места столкновения находятся на одинаковом расстоянии от обоих футболистов, и множество этих точек, спроецированное на плоскость земли, образует прямую, конечные точки которой удалены от обоих футболистов на определяемое максимальной дальностью полёта мяча расстояние. Чтобы найти его, выразим, например, время полёта, которое равно удвоенному времени, затрачиваемому на уменьшение вертикальной скорости до нуля под действием силы тяжести: \[t=\frac{2v_{\text{верт}}}{g}.\] За это время в горизонтальном направлении проходится расстояние \[s=v_{\text{гор}}t=\frac{2v_{\text{гор}}v_{\text{верт}}}{g}.\] Наибольшая дальность полёта достигается при \(v_{\text{верт}}=v_{\text{гор}}=v/\sqrt2\), и поэтому \(s_{\max}=v^2/g\).

Из прямоугольного треугольника находим длину области точек столкновения \[l=2\sqrt{s_{\max}^2-(d/2)^2}=2\sqrt{\frac{v^4}{g^2}-\frac{d^2}{4}},\] численное значение которой — 41 м.

На рисунке: jalgpallur — футболист.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.