Конденсатор

Заряд на пластинах сохраняется; пластина делит конденсатор на два последовательных, и полная ёмкость не зависит от положения пластины, так что работа равна изменению энергии.

\(A=-\dfrac{\epsilon_0SU_0^2}{4d}\); пластина втягивается сама.

Ёмкость плоского конденсатора \(C=\epsilon_0S/d\), и поэтому вначале на конденсаторе заряд \[Q_0=CU_0=\epsilon_0SU_0/d\] и полная энергия \[E=CU_0^2/2=\epsilon_0SU_0^2/2d .\] Так как конденсатор отсоединён от батарейки, заряд сохраняется, а напряжение изменяется, когда мы вводим металлическую пластину.

Пусть расстояние металлической пластины от одной из пластин конденсатора равно \(x\), тогда имеем дело с двумя последовательно соединёнными плоскими конденсаторами, один с расстоянием между пластинами \(x\), а другой — с расстоянием \(d-(d/2+x)=d/2-x\). Общую ёмкость \(C'\) новых конденсаторов найдём из соотношения \[1/C'=1/C(x)+1/C(d/2-x)=\frac{x}{\epsilon_0S}+\frac{d/2-x}{\epsilon_0S}=\frac{d/2-x+x}{\epsilon_0S}=\frac{d}{2\epsilon_0S},\] откуда \(C'=2C\). Значит, новая полная энергия системы \[E'=Q_0^2/2C'=\epsilon_0SU_0^2/4d\] и не зависит от точного положения пластины внутри конденсатора. Разность новой и прежней полной энергий системы должна быть равна работе внешних сил, которая в этом случае получается отрицательной: \[E'=E+A\ \to\ A=E'-E=-\epsilon_0SU_0^2/4d.\] Так как работа внешней силы отрицательна, пластина втягивается в конденсатор сама.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.