Линзы

Лучи, идущие параллельно оси, после рассеивающей линзы продолжаются назад до пересечения в её фокальной плоскости; постройте ход крайнего луча и выпишите подобные треугольники.

\(f_2=\dfrac{R}{4r}\,f_1\).

Решение 1. Вся картина симметрична относительно главной оптической оси, поэтому можно заниматься только одной её половиной. Построим ход лучей, зная, что продолжения всех параллельных лучей, прошедших через вогнутую линзу, пересекаются в фокальной плоскости.

На рисунке есть несколько интересных нам подобных треугольников: \[\triangle AF'D\sim\triangle BO'D\sim\triangle CFD\] и \[\triangle EOF\sim\triangle AF'O'\sim\triangle BO'F .\] Кроме того, мы знаем длины некоторых отрезков: \(|EO|=R\), \(|OF|=f_1\), \(|F'O'|=f_2\) и \(|CF|=r\). Зная это, можно составить систему из четырёх линейных уравнений: \[\begin{cases} \dfrac{R}{f_1}=\dfrac{|AF'|}{f_2},\\[2mm] \dfrac{R}{f_1}=\dfrac{|BO'|}{f_1/2},\\[2mm] \dfrac{|AF'|}{|O'D|-f_2}=\dfrac{r}{f_1/2+|O'D|},\\[2mm] \dfrac{|AF'|}{|O'D|-f_2}=\dfrac{|BO'|}{|O'D|}. \end{cases}\] После решения системы получаем \(f_2=\dfrac{R}{4r}\,f_1\).

Решение 2. В этом решении используем формулу линзы \(-\dfrac1f=\dfrac1a-\dfrac1k\). Перед \(f\) стоит минус, так как линза вогнутая, а перед \(k\) — минус, так как изображение мнимое. Пользуясь принципом обратимости лучей, рассмотрим вместо этого ситуацию, когда из предмета \(CF\) возникает мнимое изображение \(AB\). Кроме того, используем подобие треугольников: \(\triangle CFO'\sim\triangle ABO'\) и \(\triangle DOF\sim\triangle ABF\).

\[\begin{cases} \dfrac{|CF|}{|FO'|}=\dfrac{|AB|}{|BO'|},\\[2mm] \dfrac{|DO|}{|OF|}=\dfrac{|AB|}{|BF|},\\[2mm] -\dfrac1{f_2}=\dfrac1{|FO'|}-\dfrac1{|BO'|}, \end{cases} \qquad\text{то есть}\qquad \begin{cases} \dfrac{r}{f_1/2}=\dfrac{|AB|}{|BO'|},\\[2mm] \dfrac{R}{f_1}=\dfrac{|AB|}{f_1/2-|BO'|},\\[2mm] -\dfrac1{f_2}=\dfrac1{f_1/2}-\dfrac1{|BO'|}. \end{cases}\] При решении этой системы получаем \(f_2=\dfrac{R}{4r}\,f_1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.