Искусственный спутник

На дальней точке эллиптической орбиты скорость перпендикулярна радиусу. Запишите для новой орбиты сохранение момента импульса и энергии, а \(GM\) выразите из условия движения по исходной круговой орбите.

a) \(R_1=\dfrac{961}{191}\,r\approx 277\,729\) км;  b) \(R_2=\dfrac{24}{17}\,r\approx 77\,928\) км.

Заметим, что в самой дальней точке орбиты проекция вектора скорости спутника на отрезок, соединяющий спутник с центром планеты, должна быть равна 0. Если бы проекция вектора скорости была положительной, спутник двигался бы от планеты и в следующий момент времени оказался бы дальше от планеты. Если бы проекция вектора скорости была отрицательной, спутник двигался бы к планете и в предыдущий момент времени был бы дальше от планеты.

Для тела на круговой орбите центростремительной силой является сила тяготения, то есть \(\dfrac{mv^2}{r}=\dfrac{GMm}{r^2}\), где \(G\) — гравитационная постоянная, \(M\) — масса планеты, \(m\) — масса спутника. Следовательно, \(GM=v^2r\).

Рассмотрим сначала случай, когда спутнику сообщается ускорение в направлении его движения. Сразу после получения ускорения скорость спутника была бы \(u_1=v+\Delta v=\frac{31}{24}v\). Его полная энергия была бы \(E_1=\dfrac{mu_1^2}{2}-\dfrac{GMm}{r}\), а момент импульса \(L_1=mru_1\). Пусть скорость спутника в самой дальней точке орбиты равна \(w_1\). По закону сохранения момента импульса \(L_1=mR_1w_1\), то есть \(w_1=\dfrac{r}{R_1}u_1\), а по закону сохранения энергии \(E_1=\dfrac{mw_1^2}{2}-\dfrac{GMm}{R_1}\), то есть \[\frac{u_1^2}{2}-v^2=\frac{u_1^2r^2}{2R_1^2}-\frac{v^2r}{R_1}.\] Это можно преобразовать к виду \[\left(\frac{u_1^2}{2}-v^2\right)R_1^2+v^2rR_1-\frac{u_1^2r^2}{2}=0.\] Решения этого уравнения: \[R_1=\frac{-v^2r\pm\sqrt{v^4r^2-2v^2u_1^2r^2+u_1^4r^2}}{u_1^2-2v^2} =\frac{-v^2r\pm\sqrt{1-2\left(\frac{31}{24}\right)^2+\left(\frac{31}{24}\right)^4}\,v^2r}{\left(\frac{961}{576}-2\right)v^2} =\frac{1\mp\left(\frac{961}{576}-1\right)}{\frac{191}{576}}\,r.\] Наибольшее расстояние, следовательно, \(R_1=\dfrac{961}{191}\,r=277\,729\) км.

Если бы ускорение было направлено от планеты, скорость спутника сразу после получения ускорения была бы \(u_2=\sqrt{v^2+\Delta v^2}=\frac{25}{24}v\). Его полная энергия была бы \(E_2=\dfrac{mu_2^2}{2}-\dfrac{GMm}{r}\), а момент импульса \(L_2=mrv\). Пусть скорость спутника в самой дальней точке орбиты на этот раз равна \(w_2\). По закону сохранения момента импульса \(L_2=mR_2w_2\), то есть \(w_2=\dfrac{r}{R_2}v\), а по закону сохранения энергии \[\frac{u_2^2}{2}-v^2=\frac{v^2r^2}{2R_2^2}-\frac{v^2r}{R_2}, \quad\text{то есть}\quad \left(\frac{u_2^2}{2}-v^2\right)R_2^2+v^2rR_2-\frac{v^2r^2}{2}=0,\] решения которого \[R_2=\frac{-v^2r\pm\sqrt{v^4r^2-2v^4r^2+v^2u_2^2r^2}}{u_2^2-2v^2} =\frac{-v^2r\pm\sqrt{\left(\frac{625}{576}-1\right)v^4r^2}}{\left(\frac{625}{576}-2\right)v^2} =\frac{1\mp\frac{7}{24}}{\frac{527}{576}}\,r.\] Наибольшее расстояние, следовательно, \(R_2=\dfrac{24}{17}\,r=77\,928\) км.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.