Тонущий мяч

Лучи от верхнего и нижнего краёв мяча почти параллельны; ширина мяча при взгляде сверху не искажается, а высота меняется из-за преломления. Свяжите углы лучей с водой законом преломления.

\(L\approx 8{,}8\) м.

Нарисуем ход лучей света от глаза до верхнего и нижнего краёв мяча. Это ломаные линии, преломляющиеся на поверхности воды, которые почти параллельны, если рассматривать область вблизи мяча, так как размеры мяча значительно меньше расстояния (которое, очевидно, больше высоты \(H=2\) м). Расстояние \(a\) между нижними прямыми участками равно диаметру мяча, расстояние \(b\) между верхними прямыми участками соответствует видимой высоте мяча. При взгляде сверху прямые, проведённые к левому и правому краям мяча, кажущимся образом не преломляются, поэтому видимая ширина мяча равна его действительной ширине. Значит, видимая приплюснутость мяча \(k=a/b=3\). Если обозначить угол наклона верхней части ломаной к поверхности воды через \(\beta\), а нижней части — через \(\alpha\), то из сказанного выше получаем соотношения \(a=d\sin\alpha\) и \(b=d\sin\beta\), где \(d\) — расстояние между точками излома ломаных. Отсюда получаем уравнение \(\sin\alpha=k\sin\beta\) и из закона преломления \(\cos\alpha=\cos\beta/n\). Возводя эти выражения в квадрат и складывая левые и правые части, получаем \[1-n^{-2}=(k^2-n^{-2})\sin^2\beta,\] откуда \(\sin\beta=\sqrt{7/135}\). Расстояние от глаза до мяча \(L=H/\sin\beta=H\sqrt{135/7}\approx 8{,}8\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.