Сообщающиеся сосуды (теоретический тур)

1) Давления у дна в левом и правом сосудах равны: \(\rho_2 gh + \rho_1 g\left(\dfrac{3H}{2} - h\right) = \rho_1 gH\), откуда \(\rho_2 = \rho_1\left(1 - \dfrac{H}{2h}\right)\).

2) Когда уровни сравняются, каждый будет на высоте \(\dfrac{5H}{4}\): в левом сосуде уровень опустится на \(\dfrac{H}{4}\), в правом поднимется на \(\dfrac{H}{4}\). Учтём, что \(h > \dfrac{H}{2}\).

Случай \(h < H\): нижняя граница второй жидкости не опускается до трубочки. Масса поршня из условия равенства давлений у дна: \(\dfrac{mg}{S} + \rho_2 gh + \rho_1 g\left(\dfrac{5H}{4} - h\right) = \rho_1 g\dfrac{5H}{4}\), откуда \(m = (\rho_1 - \rho_2)hS = \dfrac{\rho_1 H}{2}S\).

Случай \(\dfrac{5H}{4} > h > H\): нижний уровень жидкости с плотностью \(\rho_2\) при опускании поршня доходит до трубочки, жидкость начинает перетекать в правый сосуд и всплывает там (так как \(\rho_2 < \rho_1\)). Столб жидкости с \(\rho_1\) в левом сосуде доходит до уровня \(\dfrac{H}{4}\), столб с \(\rho_2\) имеет высоту \(H\). В правом сосуде столб с \(\rho_1\) имеет высоту \(\left(\dfrac{9H}{4} - h\right)\), столб с \(\rho_2\) — высоту \((h - H)\). Тогда \(\dfrac{mg}{S} + \rho_2 gH + \rho_1 g\dfrac{H}{4} = \rho_1 g\left(\dfrac{9H}{4} - h\right) + \rho_2 g(h - H)\), откуда \(m = \rho_1\dfrac{H(2H-h)}{2h}S\).