Черти (теоретический тур)

Обозначим скорость реки \(u\), собственные скорости катера и теплохода относительно реки \(v_{\text{к}}\) и \(v_{\text{т}}\). Перейдём в систему отсчёта реки, где плот неподвижен. Тогда: плот: \(x_{\text{п}} = 0\); катер: \(x_{\text{к}} = v_{\text{к}} t\) при \(t \in [0, 2\tau]\) и \(x_{\text{к}} = 2v_{\text{к}}\tau - v_{\text{к}}(t-2\tau)\) при \(t > 2\tau\); теплоход: \(x_{\text{т}} = x_0 - v_{\text{т}} t\).

Встреча теплохода с катером в момент \(\tau\): \(x_0 - v_{\text{т}}\tau = v_{\text{к}}\tau\), откуда \(x_0 = (v_{\text{к}} + v_{\text{т}})\tau\).

Вторая встреча катера с плотом: \(2v_{\text{к}}\tau - v_{\text{к}}(t_1 - 2\tau) = 0\), откуда \(t_1 = 4\tau\). Вторая встреча катера с теплоходом в момент \(6\tau\): \(2v_{\text{к}}\tau - v_{\text{к}}\cdot 4\tau = x_0 - 6v_{\text{т}}\tau\), то есть \(-2v_{\text{к}}\tau = (v_{\text{к}} + v_{\text{т}})\tau - 6v_{\text{т}}\tau\), откуда \(\dfrac{v_{\text{к}}}{v_{\text{т}}} = \dfrac{5}{3}\).

Встреча теплохода с плотом в момент \(t_0\): \(0 = x_0 - v_{\text{т}} t_0\), откуда \(t_0 = \tau\dfrac{v_{\text{к}}+v_{\text{т}}}{v_{\text{т}}} = \dfrac{8}{3}\tau\).

Решение графическим методом (в системе отсчёта реки) даёт те же результаты: точка встречи теплохода и плота является точкой пересечения медиан треугольника на графике, что даёт \(t_0 = \tfrac{2}{3}\cdot 4\tau = \tfrac{8}{3}\tau\).