Диаметр иглы

Решение

1. Соберем установку, изображенную на рисунке 1. Для этого закрепим весы в вертикальном положении в лапке штатива. Прикрепим к платформе весов крышку весов, как описано в условии. Установим под крышкой стакан с водой так, чтобы вода с крышки стекала в стакан. Наберем в шприц воду и будем давить на поршень шприца так, чтобы струя воды сталкивалась с перпендикулярной ей крышкой весов. Нижний край крышки опущен в воду для того, чтобы после столкновения струи воды с крышкой мы могли считать импульс воды на горизонтальную ось равным нулю.

Рис. 1. Установка для измерения силы давления струи

По показаниям весов \(m^*\) можно судить о силе давлении струи на крышку весов. При должной сноровке можно создавать струю практически постоянной скорости, ориентируясь на показания весов. Проведем измерение зависимости времени \(t\) выдавливания из шприца объема \(V=(20.0\pm0.5) ~мл\) от показаний весов \(m^*\). Для каждого значения показаний весов проведем три измерения с последующим усреднением. Видно, что по результатам измерений можно оценить погрешность измерения среднего времени \(\sigma_t\) приблизительно в \(1~с\), то есть можно утверждать, что опыт имеет хорошую повторяемость. Погрешность измерения показаний весов при малых скоростях струи оценим приблизительно в \(10\%\).

При столкновении струи площади поперечного сечения \(s\) с неподвижной крышкой весов возникает сила \(F\), останавливающая струю. За некоторый промежуток времени \(\Delta t\) импульс этой силы \(F \Delta t\) останавливает массу воды \(\Delta m = \rho v \Delta t s\) со скорости \(v\) до нулевой скорости. Тогда в соответствии со вторым законом Ньютона в импульсной форме имеем:

\[F \Delta t = \Delta m v = \rho v \Delta t s v,\] где \(\rho\) – плотность воды.

Сокращая промежуток времени в двух частях уравнения получаем выражение для силы давления струи на платформу весов:

\[F= \rho s v^2.\] Сила давления на платформу весов связана с их показаниями как:

\[F=m^*g.\] Площадь сечения струи будем считать равной площади внутреннего сечения иглы:

\[s=\pi \frac{d^2}{4}.\] Строго говоря, это утверждение требует отдельной проверки, но, за неимением лучшего, будем считать это утверждение верным.

Скорость потока в струе связана с объемным расходом воды в шприце:

\[vs=\frac{V}{t}.\] Окончательно для связи показаний весов со временем истечения жидкости из шприца имеем:

\[m^*g=\rho \frac{4 V^2}{t^2 \pi d^2}.\] То есть график зависимости \(\frac{1}{t^2}(m^*)\) обратного квадрата времени истечения от показаний весов должен описываться прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом:

\[k=\frac{g\pi d^2}{4\rho V^2}.\] Рассчитаем в таблице величины обратных квадратов усредненных времен истечения жидкости и построим соответствующий график. Погрешность обратных квадратов времен будем оценивать как:

\[\sigma_{\frac{1}{t^2}}=\frac{1}{t^2}\frac{2\sigma_t}{t}.\]

Видно, что точки хорошо описываются прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом \(k=(5.15\pm0.3)\ (с^2 кг)^{-1}\).

Тогда расчетное значение диаметра составит:

Ответ:

\[d=\sqrt{\frac{4 k \rho V^2}{g \pi}} = (0.52\pm0.04)~мм.\]

Оценим погрешность результата измерений как:

\[\sigma_d=d\left(\frac{\sigma_k}{2k}+\frac{\sigma_V}{V}\right).\]

Источник: pho.rs/p/4409.