Гантель в выемке

Запишите закон сохранения энергии для положений в начале движения и в точке максимального подъёма.

Полная механическая энергия системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется, так как выемка гладкая и работа сил реакции стенок в любой момент времени, перпендикулярных скоростям шариков, равна нулю: \(E = E_{кин} + E_{пот} = \text{const}\).

В начальный момент и в момент подъёма на максимальную высоту \(H\) кинетическая энергия системы равна нулю, поэтому её потенциальная энергия в эти моменты одинакова: \(E^{нач}_{пот} = E^{конеч}_{пот}\).

Если отсчитывать потенциальную энергию от нижней точки выемки, то начальная потенциальная энергия системы \(E^{нач}_{пот} = mgR\), а её конечная потенциальная энергия \(E^{конеч}_{пот} = mgh + MgH\). Закон сохранения энергии приводит к уравнению $$mgR = mgh + MgH,$$ из которого следует, что \((R - h) = \dfrac{M}{m}H\).

При движении гантели по поверхности выемки высота подъёма большого и малого грузов связаны. В прямоугольных треугольниках \(OmA\) и \(OMB\) \(MB = mA = R - h\), \(OA = OB = R - H\), \(OM = Om = R\), и по теореме Пифагора \((R - h)^2 = R^2 - (OA)^2 = R^2 - (R - H)^2\). Отсюда \((R - h)^2 = H(2R - H)\).

Подставим сюда выражение \((R - h) = \dfrac{M}{m}H\), полученное из закона сохранения энергии, и получим: \(\left(\dfrac{M}{m}\right)^2 H = 2R - H\), откуда \(R = \dfrac{H}{2}\left[1 + \left(\dfrac{M}{m}\right)^2\right]\).

Подставляя значения физических величин, получаем: \(R = 6(1 + 4) = 30\) см.

Ответ: \(R = 30\) см.