Тепловой двигатель на смеси гелия и азота

Работа за цикл равна площади треугольника на диаграмме \(P\), \(V\). Подведённое тепло складывается из теплоёмкостей гелия и азота на участке 1–2 и работы на нём.

Найдём связь объёмов и температур в состояниях 1 и 2. Из подобия треугольников \(0\,1\,V_1\) и \(0\,2\,V_2\) получаем: \[\frac{V_2}{V_1} = \frac{P_2}{P_1} = 2 \quad\Rightarrow\quad V_2 = 2V_1.\] Запишем уравнение состояния газовой смеси в точках 1 и 2: \[P_1V_1 = \nu RT_1, \qquad P_2V_2 = \nu RT_2.\] Здесь \(\nu = \nu_1+\nu_2\) — полное число молей смеси, \(R\) — универсальная газовая постоянная. Поделив второе уравнение на первое, получаем: \[\frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2}{P_1}\cdot\frac{V_2}{V_1} = 4 \quad\Rightarrow\quad T_2 = 4T_1.\]

Работу газовой смеси за цикл вычислим как площадь треугольника \(123\): \[A = \frac12(P_2-P_1)(V_2-V_1) = \frac12 P_1V_1 = \frac12\nu RT_1.\] Газовая смесь получает тепло на участке 1–2. Подведённое количество теплоты равно: \[Q = \frac32\nu_1R(T_2-T_1) + \frac52\nu_2R(T_2-T_1) + A_{12} = \frac32(3\nu_1+5\nu_2)RT_1 + A_{12},\] где \(A_{12}\) — работа газовой смеси на участке 1–2. Вычислим эту работу как площадь трапеции \(V_1\,1\,2\,V_2\): \[A_{12} = \frac12(P_1+P_2)(V_2-V_1) = \frac32 P_1V_1 = \frac32\nu RT_1.\] Для подведённого количества теплоты получаем: \[Q = \frac32(3\nu_1+5\nu_2)RT_1 + \frac32(\nu_1+\nu_2)RT_1 = 3(2\nu_1+3\nu_2)RT_1.\] КПД двигателя равен: \[\eta = \frac{A}{Q} = \frac{\nu_1+\nu_2}{6(2\nu_1+3\nu_2)} = \frac{x+1}{6(2x+3)},\] где \(x = \nu_1/\nu_2\). Отсюда находим отношение числа молей: \[12\eta x + 18\eta = x + 1 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{18\eta-1}{1-12\eta} = 0{,}77.\]