Катушка с лентой, закреплённой на полу

Скорость точки ленты, касающейся внутреннего цилиндра, относительно пола равна нулю. Из этого условия свяжите скорость оси катушки и её угловую скорость.

Обозначим через \(\vec V_0\) мгновенную скорость точки \(O\) относительно пола и через \(\omega\) мгновенную угловую скорость вращения катушки вокруг этой точки. Найдём связь между \(V_0\) и \(\omega\). Скорость всех точек вертикального участка ленты относительно пола равна нулю. В частности, это верно и для точки \(D\), в которой этот участок касается внутреннего цилиндра катушки. Скорость точки \(D\) относительно пола равна \[\vec V_D = \vec V_0 + \vec V_D\,',\] где \(\vec V_D\,'\) — линейная скорость точки \(D\) относительно точки \(O\). Вектор \(\vec V_D\,'\) направлен противоположно вектору \(\vec V_0\) и по абсолютной величине равен \(\omega r\). Из условия \(\vec V_D = 0\) получаем: \[V_0 = \omega r \quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{V_0}{r}.\]

Рассмотрим теперь скорости точек \(B\) и \(C\) относительно пола: \[\vec V_B = \vec V_0 + \vec V_B\,', \qquad \vec V_C = \vec V_0 + \vec V_C\,'.\] Здесь \(\vec V_B\,'\) и \(\vec V_C\,'\) — линейные скорости рассматриваемых точек относительно точки \(O\). По абсолютной величине они одинаковы: \[V_B\,' = V_C\,' = \omega R = V_0\frac{R}{r}.\] Вектор \(\vec V_B\,'\) направлен противоположно \(\vec V_0\). Так как \(V_B\,' > V_0\), вектор скорости \(\vec V_B\) направлен вертикально вниз. Его абсолютная величина равна: \[V_B = V_B\,' - V_0 = V_0\left(\frac{R}{r} - 1\right) = V_0\,\frac{R-r}{r}.\] Вектор \(\vec V_C\,'\) перпендикулярен \(\vec V_0\). Поэтому абсолютную величину скорости точки \(C\) находим по теореме Пифагора: \[V_C = \sqrt{V_C\,'^2 + V_0^2} = V_0\sqrt{\left(\frac{R}{r}\right)^2 + 1} = V_0\,\frac{\sqrt{R^2+r^2}}{r}.\] Отношение скоростей точек \(B\) и \(C\) равно: \[x = \frac{V_B}{V_C} = \frac{R-r}{\sqrt{R^2+r^2}} = 0{,}43.\]