Доска и брусок под нарастающей силой

Сначала найдите момент, когда начнёт двигаться доска вместе с бруском, затем момент, когда сила трения между бруском и доской достигнет предела. Искомое время — разность этих моментов.

На доску со стороны стола действует сила трения \(\vec F_1\). На брусок со стороны доски действует сила трения \(\vec F_2\). По третьему закону Ньютона брусок действует на доску силой \(-\vec F_2\). Пока внешняя сила \(F\) мала, доска и брусок неподвижны и силы \(F_1\) и \(F_2\) являются силами трения покоя. В этом случае имеем равенства: \(F_1 = F_2 = F\).

Поскольку сила трения покоя не превосходит силу трения скольжения, максимальные значения сил \(F_1\) и \(F_2\) равны: \[F_{1\,\max} = \mu_1(m_1+m_2)g = 0{,}8~\text{Н}, \qquad F_{2\,\max} = \mu_2 m_2 g = 1{,}5~\text{Н}.\] При увеличении внешней силы \(F\) сначала будет достигнуто значение \(F_{1\,\max}\), то есть первой начнёт двигаться доска. Найдём момент времени \(t_1\), когда это произойдёт: \[F_{1\,\max} = F, \qquad \mu_1(m_1+m_2)g = kt_1 \quad\Rightarrow\quad t_1 = \frac{\mu_1(m_1+m_2)g}{k}.\] При \(t > t_1\) доска и брусок будут некоторое время двигаться как одно тело. Найдём ускорение этого движения: \[(m_1+m_2)a = F - \mu_1(m_1+m_2)g \quad\Rightarrow\quad a = \frac{F}{m_1+m_2} - \mu_1 g.\] Запишем второй закон Ньютона для бруска: \(m_2 a = F - F_2\). Выразим отсюда \(F_2\): \[F_2 = F - m_2 a = F - \frac{m_2F}{m_1+m_2} + \mu_1 m_2 g = \frac{m_1F}{m_1+m_2} + \mu_1 m_2 g.\]

С ростом \(F\) сила \(F_2\) увеличивается и в некоторый момент времени \(t_2\) достигает своего максимального значения \(F_{2\,\max}\). В этот момент брусок начинает скользить по доске. Найдём время \(t_2\): \[\mu_2 m_2 g = \frac{m_1 k t_2}{m_1+m_2} + \mu_1 m_2 g \quad\Rightarrow\quad t_2 = \frac{(m_1+m_2)g}{m_1 k}\cdot(\mu_2-\mu_1)m_2.\] Искомое время \(\tau\) равно: \[\tau = t_2 - t_1 = \frac{(m_1+m_2)g}{k}\left(\frac{m_2(\mu_2-\mu_1)}{m_1}-\mu_1\right) = 3{,}7~\text{с}.\]