Обруч у стены и гвоздь

Отпустите обруч, не вбивая второй гвоздь, и найдите, как он начнёт двигаться. Положения второго гвоздя, которые препятствуют такому движению, и будут искомыми.

Отпустим обруч, не вбивая второй гвоздь, и найдём, как он движется. Обруч будет вращаться вокруг первого гвоздя, так как одна его точка всё время касается гвоздя, а центр обруча должен опускаться (рис. 1; тонкая прямая проходит через гвоздь и центр обруча в начальном положении, пунктирная — через гвоздь и центр спустя малое время).

Точка обруча, касающаяся гвоздя, — мгновенный центр вращения. Участки обруча, которые при отпускании движутся внутрь области обруча, выделены на рис. 2 красным пунктиром; участки, которые движутся наружу, — зелёными точками. Положения второго гвоздя в любой точке внутренней области, выделенной красным пунктиром, препятствуют рассмотренному движению.

Однако не все такие положения оставляют обруч в покое. Если вбить второй гвоздь в точки стены слева от первого гвоздя и выше него (выделено жёлтым на рис. 3), обруч будет поворачиваться относительно второго гвоздя. Эти положения нужно исключить из найденной области.

В результате получаем, что искомые точки внутри обруча лежат от верхней точки обруча до точки на том диаметре, который проходит через первый гвоздь (рис. 4, выделено красным).

Решение остаётся справедливым и тогда, когда первый гвоздь расположен внутри обруча в его нижней половине (рис. 5): верхний и нижний гвоздь меняются местами, и получается та же картина, зеркальная относительно вертикали.