Теплоёмкость, зависящая от температуры

Тепло, отданное водой, равно теплу, полученному материалом. Теплоёмкость материала меняется, поэтому разбейте интервал температур на малые части, на каждой из которых теплоёмкость постоянна.

Пусть установившаяся температура воды равна \(t_x\). Вода отдаёт тепло \[Q=2m\,c\,(t_1-t_x)=4200\cdot 1\cdot (45-t_x)\ \text{Дж}.\] Это тепло получает материал с переменной теплоёмкостью. Разделим интервал температур от \(0\) до \(t_x\) на малые участки, внутри которых теплоёмкость можно считать постоянной; тогда тепло на каждом участке есть \(m\,c_0(1+\gamma t_i)\,\Delta t_i\), а суммарное тепло равно \[Q=m\,c_0\left(t_x+\frac{\gamma\,t_x^2}{2}\right)=1050\left(t_x+0{,}025\,t_x^2\right)\ \text{Дж}.\] Сумма \(\sum t_i\Delta t_i\) по этим участкам вычисляется как площадь под графиком \(f(t)=t\) от \(0\) до \(t_x\) (аналогично работе силы упругости), что даёт \(t_x^2/2\).

Приравнивая оба выражения, получаем уравнение \[t_x^2+200\,t_x-7200=0,\] откуда \(t_x=-100+\sqrt{17200}\approx 31{,}2\,^\circ\text{C}\).