Расширяющееся облако пыли

Покажите, что слой пылинок, находившихся в начальный момент между радиусами \(r_1\) и \(r_2\), через время \(t\) занимает слой между \(r_1(1+Ht)\) и \(r_2(1+Ht)\).

Рассмотрим все пылинки, находившиеся в начальный момент на расстояниях от \(r_1\) до \(r_2\) от центра облака. Их масса \[m=\rho_0 V=\rho_0\,\frac{4}{3}\pi\left(r_2^3-r_1^3\right),\] где \(V\) — объём сферического слоя. Через время \(t\) после взрыва эти пылинки окажутся на расстояниях от \(r_1(1+Ht)\) до \(r_2(1+Ht)\) от центра, так как скорость пылинки на расстоянии \(r\) равна \(Hr\), а её смещение за время \(t\) равно \(Hrt\). Пылинки, которые были дальше \(r_2\), улетят дальше и в этот слой не попадут; пылинки ближе \(r_1\) отстанут.

Поэтому плотность пыли в этом слое \[\rho(t)=\frac{m}{V_{\text{слоя}}}=\frac{\rho_0\,\frac{4}{3}\pi\left(r_2^3-r_1^3\right)}{\frac{4}{3}\pi\left[\left(r_2(1+Ht)\right)^3-\left(r_1(1+Ht)\right)^3\right]}=\frac{\rho_0}{(1+Ht)^3}.\] Плотность не зависит от \(r_1\) и \(r_2\), значит облако остаётся однородным. Пылинки есть только внутри радиуса \(R(1+Ht)\), поэтому окончательно \[\rho(t)=\begin{cases}\dfrac{\rho_0}{(1+Ht)^3}, & r<R(1+Ht),\\[2mm] 0, & r>R(1+Ht).\end{cases}\]

Такая же плотность будет и на расстоянии \(R/2\) от центра, и в любой другой точке внутри облака.