Пластинка на солнце

Запишите условие теплового баланса пластинки (поглощённая энергия равна отданной) и закон Фурье для теплопроводности самой пластинки; для пластинки удвоенной толщины — те же уравнения с новыми температурами.

Пусть пластинка получает от солнечных лучей в единицу времени энергию \(Q\). В установившемся режиме эта энергия отдаётся окружающей среде, причём поток тепла от каждой стороны пропорционален разности температуры стороны и температуры среды с коэффициентом \(\kappa\), не зависящим от температур. Тепловое равновесие даёт \[Q=\kappa\,(t_1-t_0)+\kappa\,(t_2-t_0).\] С другой стороны, тепло, отдаваемое неосвещённой стороной, приходит от освещённой через саму пластинку по закону Фурье с коэффициентом теплопроводности \(\lambda\) и толщиной \(d\): \[\kappa\,(t_2-t_0)=\frac{\lambda}{d}\,(t_1-t_2).\] Для пластинки удвоенной толщины с температурами \(t_1'\) и \(t_2'\): \[Q=\kappa\,(t_1'-t_0)+\kappa\,(t_2'-t_0),\qquad \kappa\,(t_2'-t_0)=\frac{\lambda}{2d}\,(t_1'-t_2').\] Приравнивая первое уравнение к первому уравнению для исходной пластинки, получаем \(t_1'+t_2'=t_1+t_2=80\,^\circ\text{C}\). Деля второе уравнение на второе для исходной пластинки, получаем \[\frac{t_2'-t_0}{t_2-t_0}=\frac{t_1'-t_2'}{2\,(t_1-t_2)}.\] Подставив числа, \(\dfrac{t_2'-25}{5}=\dfrac{80-2t_2'}{40}\), откуда \(t_2'=28\,^\circ\text{C}\) и \(t_1'=52\,^\circ\text{C}\).