Пружинный маятник

IEPhO 2016/17, 10 кл.

6/10

В этой задаче нужно оценивать погрешности!

Теорию колебаний вы будете изучать через год, но сегодня вам предстоит подучить формулы для периодов колебаний экспериментально!

Рис. 1

Часть A. Продольные колебания

В качестве груза используйте бутылку, в которую с помощью мензурки добавляйте известное количество воды. Плотность воды – \(1.0~г/см^3\). Бутылку подвесьте к пружине. Для крепления бутылки к пружине используйте пробку от бутылки с двумя отверстиями под пружину. Конец пружины должен проходить через оба отверстия в пробке.

A1. Исследуйте зависимость периода продольных (вверх-вниз) колебаний от массы воды, налитой в бутылку.

A2. Период этих колебаний зависит от массы груза \(m\) и жесткости пружины \(k\) в соответствии с формулой \(T=C m^{\alpha} k^{\beta}\), где \(C\) – безразмерный коэффициент. Используя метод размерностей, определите показатели степеней \(\alpha\), \(\beta\) в этой формуле.

A3. Используя полученные экспериментальные данные подтвердите полученную зависимость периода колебаний от массы воды в бутылке. Постройте график измеренной зависимости в таких координатах, что бы эта зависимость была линейной.

A4. С помощью построенного графика определите массу пустой бутылки и безразмерный коэффициент \(C\) в формуле для периода колебаний. Оцените погрешность найденных значений.

Часть B. Крутильные колебания

Крутильный маятник представляет собой металлическую шпильку с резьбой, на которую симметрично навинчиваются гайки, расстояние между которыми, обозначим \(x\). Для крепления маятника к пружине используется пластиковая трубка с двумя отверстиями. Нижний виток пружины должен проходить через оба отверстия (см. рис. 1).

Прикрепите к пружине описанный крутильный маятник.

B1. Измерьте зависимость периода крутильных колебаний от расстояния между гайками \(x\).

B2. Предложите формулу, описывающую полученную зависимость.

B3. На основании результатов измерений подтвердите справедливость вашей формулы. Для чего постройте график измеренной зависимости в таких координатах, чтобы он был линейным.

B4. Найдите численные значения параметров в вашей формуле. Оцените их погрешность.

Оборудование

Пружина
Струбцина для крепления пружины к столу
Секундомер
Пластиковая бутылка
Мензурка
Вода
Крутильный маятник

▶Показать разборСкрыть разбор

Ответ

A2: \[\beta=-\frac{1}{2}, \quad \alpha=\frac{1}{2} \implies T=C \sqrt{\frac{m}{k}}\]; A4: \[C=6.22 \pm 0.26, \quad m_{бут}=(37.5 \pm 1.8)~г\]; B2: \[T=A \sqrt{L^{2}+L_{0}^{2}}\]

Решение

A1. Снимем зависимость периода продольных колебаний стержня от объема воды в бутылке. Для этого с помощью мензурки нальём в бутылку воду объемом \(V\) и выведем маятник из положения равновесия. Для повышения точности эксперимента предлагается измерять \(N\) периодов колебаний, причем каждое измерение повторять по 3 раза, после чего значение периода колебаний при данном объеме \(V\) будем считать как среднее из \(t_{1-3}\). Результаты измерений представлены в таблице.

Ответ:

\(N,~шт\)	\(t_1,~с\)	\(t_2,~с\)	\(t_3,~с\)	\(t,~с\)	\(T,~с\)	\(V,~мл\)	\(T^2,~с^2\)
20	9.84	9.87	9.82	9.84	0.49	50	0.24
10	6.22	6.19	6.28	6.23	0.62	100	0.39
10	7.25	7.06	7.22	7.18	0.72	150	0.52
10	8.16	8.22	8.22	8.20	0.82	200	0.67
10	8.87	9.03	9.03	8.98	0.90	250	0.81
10	9.63	9.54	9.63	9.60	0.96	300	0.92
10	10.34	10.28	10.35	10.32	1.03	350	1.07
10	10.91	10.84	10.88	10.88	1.09	400	1.18
10	11.65	11.68	11.59	11.64	1.16	450	1.35
10	12.25	12.31	12.34	12.30	1.23	500	1.51

A2. Найдем \(\alpha\) и \(\beta\) с помощью метода размерностей:

\[T=C m^{\alpha} k^{\beta}\]\[[T]=с, \quad[m]=кг,\quad[k]=Н/м=кг/с^2\]Отсюда получаем, что:

Ответ:

\[\beta=-\frac{1}{2}, \quad \alpha=\frac{1}{2} \implies T=C \sqrt{\frac{m}{k}}\]

A3. Из выведенной нами теоретической зависимости следует, что график \(T^{2}(V)\) должен быть линейным. Рассчитаем для каждого \(T\) соответствующий ему \(T^{2}\) и построим экспериментальный график зависимости \(T^{2}(V)\).

Ответ:

График зависимости \(T^2\) от \(V\) продольных колебаний

A4. Как видно, график является линейным, что подтверждает теоретическую модель. Из параметров графика определим коэффициент \(C\) (угловой коэффициент) и массу пустой бутылки (точка пересечения с осью ординат):

Ответ:

\[C=6.22 \pm 0.26, \quad m_{бут}=(37.5 \pm 1.8)~г\]

B1. Повернем стержень со шпилькой вокруг оси симметрии на малый угол и отпустим. Заметим, что в системе установились колебания, которые отличаются от тех, что мы наблюдали в первом пункте.

Теперь периодически изменяется угол поворота системы «стержень – шпилька» вокруг оси симметрии. Такое движение носит название крутильных колебаний.

Снимем зависимость периода крутильных колебаний от расстояния \(x\) между гайками. Результаты измерений представлены в таблице.

Ответ:

\(N,~шт\)	\(t_1,~с\)	\(t_2,~с\)	\(t_3,~с\)	\(t,~с\)	\(T,~с\)	\(L,~см\)	\(L^2,~см^2\)	\(T^2,~с^2\)
5	27.38	27.44	27.32	27.38	5.48	14.7	216.09	29.99
5	24.5	24.63	24.63	24.59	4.92	12.7	161.29	24.18
5	21.73	21.75	21.75	21.74	4.35	10.7	114.49	18.91
5	19.34	19.37	19.38	19.36	3.87	8.7	75.69	15.00
5	17.16	17.22	17.13	17.17	3.43	6.7	44.89	11.79
5	15.34	15.34	15.18	15.29	3.06	4.7	22.09	9.35
5	13.93	13.93	13.93	13.93	2.79	2.7	7.29	7.76
5	13.56	13.53	13.53	13.54	2.71	1.3	1.69	7.33

B2. Из уравнений динамики вращательного движения следует, что \(T^{2} \sim I\),

где \(I\) – момент инерции системы. Он складывается из моментов инерции тел относительно осей, проходящих через их центры масс, и добавки \(2 m_г\left({L}/{2}\right)^2\), следующей из теоремы Гюйгенса–Штейнера. Таким образом график \(T^{2}\left(L^{2}\right)\) должен быть линейным, а сама зависимость \(T(L)\) имеет вид:

Ответ:

\[T=A \sqrt{L^{2}+L_{0}^{2}}\]

где \(A\) и \(L_{0}\) – какие-то постоянные размерные величины.

B3. Построим график \(T^{2}\left(L^{2}\right)\):

Ответ:

График зависимости \(T^2\) от \(L^2\) крутильный колебаний

B4. Как видно, экспериментальная зависимость \(T^{2}\left(L^{2}\right)\) является линейной, что подтверждает предложенную выше теоретическую модель. Рассчитаем параметры нашей теоретической зависимости через угловой коэффициент и точку пересечения с осью ординат полученного графика\[A=\sqrt{k}=(32.5 \pm 1.8) \cdot 10^{-2}~с/см,\\L_{0}=\frac{k}{b}=(66.2 \pm 3.4)~см.\]

Ответ:

\[A=(32.5 \pm 1.8) \cdot 10^{-2}~с/см,\quad L_{0}=(66.2 \pm 3.4)~см\]

Источник: pho.rs/p/4122.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Пружинный маятник

Пружинный маятник

Похожие задачи