Две шайбы на нити

В первом случае, когда массы шайб одинаковы, они будут двигаться вдоль биссектрисы угла, образованного половинками нити (см. рис. 6). Поскольку длина каждой половинки равна \(R\), то из рисунка следует, что \(\alpha = 30^\circ\). Ясно, что силы натяжения половинок нити одинаковы. Движение равноускоренное. Ускорение каждой шайбы равно \(a = a_1 = a_2 = \dfrac{F}{2M}\), где \(M\) — масса каждой шайбы. Напишем уравнения движения, например, шайбы 1 в проекциях на оси координат:

По оси \(x\): \[T\cos\alpha = Ma \Rightarrow T = \dfrac{F}{2\cos\alpha},\quad\text{где } a = \dfrac{F}{2M}.\] По оси \(y\): \[N - T\sin\alpha = 0 \Rightarrow N = T\sin\alpha.\] Таким образом, \(N = \dfrac{F}{2}\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{F}{2\sqrt{3}}\).

Во втором случае, когда \(M_1 = M\), \(M_2 = 2M\), шайбы будут двигаться под некоторым углом \(\beta\) к биссектрисе (см. рис. 7). Очевидно, поступательное движение шайб возможно, когда линия действия силы \(\vec F\) проходит через центр масс системы.

Легко получить, что центр масс системы находится на прямой, соединяющей центры шайб на расстоянии \(\dfrac{2}{3}R\) от центра шайбы с массой \(2M\). Тогда, используя рис. 7, находим \[\operatorname{tg}\beta = \dfrac{1}{3}\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{3\sqrt{3}}.\] Ускорение каждой из шайб равно \[a = a_1 = a_2 = \dfrac{F}{3M}.\] Запишем второй закон Ньютона для движения шайбы \(M\) в проекции на направление \(Ox'\), перпендикулярное силе натяжения \(\vec T_1\) (см. рис. 8):

\[N\cos\alpha = Ma\cos(90^\circ - \alpha - \beta) = Ma\sin(\alpha + \beta) \Rightarrow N = \dfrac{F}{3}\,\dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha}.\] После тригонометрических преобразований находим

\[N = \dfrac{4F}{3}\sin\beta;\quad \sin\beta = \dfrac{\operatorname{tg}\beta}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}} = \dfrac{1}{\sqrt{28}}.\] Окончательно \(N = \dfrac{2F}{3\sqrt{7}} \approx 0{,}25F\).