Шарики на нитях и тележка

Если нить 1 всё время остаётся строго вертикальной, то на систему из двух шариков и нити 2 внешние силы в горизонтальном направлении не действуют, и центр масс этой системы по горизонтали не смещается. Направим ось \(X\) горизонтально, в направлении колебаний тележки, а начало координат поместим в точке, где находится центр масс системы из двух шариков: \(x_{\text{цм}} = 0\). Обозначим координату шарика массой \(M\) через \(X(t)\), а шарика массой \(m\) — через \(x(t)\). Тогда \(mx + MX = 0\).

При малых колебаниях угол \(\alpha\) наклона нити 2 по отношению к вертикали мал: \(|\alpha| \ll 1\), так что \[|\alpha| \approx \sin|\alpha| = \dfrac{|x| + |X|}{L} = \dfrac{m + M}{mL}|X|.\] Пусть \(T\) — сила натяжения нити 2. Тогда для шарика массой \(m\) получаем: \[mg = T\cos\alpha \approx T,\qquad T\sin|\alpha| \approx T|\alpha| = M\left|\dfrac{d^2X}{dt^2}\right| = M\omega^2|X|.\] Отсюда \(mg\dfrac{m + M}{mL} = M\omega^2\), и \[L = \dfrac{g}{\omega^2}\left(1 + \dfrac{m}{M}\right).\]