Доска с бруском и пружина

Относительное движение начнётся, когда сила трения покоя на брусок достигнет предела \(\mu m g\). До этого доска и брусок колеблются вместе на пружине с массой \(M+m\).

Пусть \(x\) — деформация пружины, при максимальном сжатии она равна \(x_3\), в момент начала относительного движения — \(x_2\).

1. Условие начала относительного движения: \(\dfrac{kx_2}{M+m} = \dfrac{\mu mg}{m}\), откуда \[x_2 = \frac{\mu(M+m)g}{k} = \frac13~\text{м}.\] Положение равновесия доски при относительном движении \(x_1 = \dfrac{\mu mg}{k} = \dfrac19\) м.

2. При \(0 < x < x_2\) система доска и брусок колеблется как целое: \(x = A_0\sin\omega_0 t\), где \(\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{M+m}}\), \(A_0 = \dfrac{V_0}{\omega_0}\). Тогда \(x_2 = \dfrac{V_0}{\omega_0}\sin\omega_0 t_2\), откуда \[t_2 = \sqrt{\frac{M+m}{k}}\,\arcsin\left(\frac{\mu g}{V_0}\sqrt{\frac{M+m}{k}}\right) = \frac{\pi}{18}~\text{с} \approx \frac16~\text{с}.\]

3. При \(x_2 < x < x_3\) доска колеблется около положения равновесия \(x_1\) с циклической частотой \(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{M}} = \sqrt{\dfrac{27}{2}}\) с\(^{-1}\) и амплитудой \(A = x_3 - x_1\). В точке \(x_3\) ускорение максимально: \(a_m = A\omega^2\).

Найдём амплитуду. Скорость \(V_2\) в момент \(x_2\) по закону сохранения энергии: \(\dfrac12(M+m)V_0^2 = \dfrac12(M+m)V_2^2 + \dfrac12kx_2^2\), откуда \(V_2^2 = V_0^2 - \dfrac{kx_2^2}{M+m} = 3\) м\(^2\)/с\(^2\). Для колебаний около \(x_1\) в точке \(x_2\): \[\left(\frac{x_2-x_1}{A}\right)^2 + \left(\frac{V_2}{A\omega}\right)^2 = 1, \qquad A = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + \frac{V_2^2}{\omega^2}} = \frac{\sqrt{22}}{9}~\text{м}.\] Тогда \[a_m = A\omega^2 = \frac{\sqrt{22}}{9}\cdot\frac{27}{2} = \frac32\sqrt{22}~\text{м/с}^2 \approx 7~\text{м/с}^2.\]