Линза и шар с зеркальной задней стенкой
7/10На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием \(F\) расположены центр \(O\) прозрачного шара и точечный источник \(S\), удалённый от линзы на расстояние \(a = 1{,}5F\) (см. рис.). На поверхность шара, противоположную поверхности входа лучей, нанесено идеально отражающее зеркальное покрытие. С шаром жёстко скреплён непрозрачный экран Э с небольшим круглым отверстием. Если шар расположен так, что расстояние от центра линзы до ближайшей к нему точки шара равно \(b = \dfrac{8F}{3}\), то изображение источника в системе «линза–шар» совпадает с самим источником при любом показателе преломления вещества шара.
Найти радиус \(R\) шара.
После того, как центр шара переместили вдоль оптической оси так, что расстояние от шара до центра линзы увеличилось на \(\Delta = 2F\), изображение источника снова совпало с самим источником.
Найти показатель преломления вещества шара.
Отражение света от наружной поверхности шара пренебрежимо мало. Экран Э обеспечивает малость углов \(\alpha\) лучей, падающих на шар, с оптической осью и справедливость приближения \(\sin\alpha \approx \alpha\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаЛуч, проходящий через центр шара, падает на зеркало по радиусу и возвращается по тому же пути при любом показателе преломления. Для второго пункта используйте формулу преломления на сферической поверхности.
Ответ1) \(R = \dfrac{F}{3}\); 2) \(n = 2{,}4\).
Решение1. Если изображение \(S_1\) источника \(S\) в линзе попадает в центр шара, то лучи в шаре идут вдоль радиуса при любом показателе преломления, падают на зеркало и отражаются строго в обратном направлении. В результате изображение в системе попадает в \(S\). По формуле тонкой линзы \[\frac1a + \frac{1}{b+R} = \frac1F.\] Так как \(a = 1{,}5F\), \(b = \dfrac{8F}{3}\), то \(R = \dfrac F3\).
2. После перемещения шар служит для левой сферической поверхности источником \(S_1\), изображение в которой \(S_2\). Если \(S_2\) попадает на сферическое зеркало, то отражённые от зеркала лучи идут симметрично (относительно оптической оси) падающим. Это приводит к тому, что изображение в системе попадает в \(S\). По формуле преломления на сферической поверхности \[\frac{1}{a_1} + \frac{n}{b_1} = \frac{n-1}{R}.\] Имеем \(a_1 = \Delta - R = \dfrac{5F}{3}\), \(b_1 = 2R = \dfrac{2F}{3}\). Тогда \(n = 2{,}4\).
Похожие задачи
- Построение и увеличение Савченко, №13.3.1
- Изображения стрелок Савченко, №13.3.2
- Метод Бесселя Савченко, №13.3.3
- Минимум d+d′ Савченко, №13.3.4
- Вращающееся зеркальце Савченко, №13.3.5
- Продольное увеличение Савченко, №13.3.6