Черепахи

Скорости сближения пар черепах должны быть пропорциональны длинам сторон треугольника. Для ускорения учтите, что в каждый момент ускорение направлено к центру кривизны траектории, а векторы скоростей вращаются с одинаковой угловой скоростью.

Расстояния между черепахами уменьшаются с постоянными скоростями. Проекции скоростей на стороны: \(v_{AB} = v_1 = v\), \(v_{BC} = v_2 + \dfrac{v_3}{\sqrt2}\), \(v_{AC} = v_3 + \dfrac{v}{\sqrt2}\) (скорости третьей и первой черепах направлены под углом \(45^\circ\) к соответствующим сторонам). Сторона \(AB = l\) уменьшается со скоростью \(v\), откуда \(t = \dfrac{l}{v}\).

Треугольник сохраняет форму, поэтому скорости изменения сторон пропорциональны их длинам: \(\dfrac{v_{AB}}{AB} = \dfrac{v_{BC}}{BC} = \dfrac{v_{AC}}{AC}\). Отсюда \(v_3 = \dfrac{v}{\sqrt2}\) и \(v_2 = \dfrac{v}{2}\).

Ускорения имеют только нормальную компоненту. Все векторы скоростей вращаются с одинаковой угловой скоростью \(\omega\), равной угловой скорости вращения треугольника. Рассматривая движение второй черепахи относительно первой, получаем \(\omega = \dfrac{v_2}{AB} = \dfrac{v}{2l}\) в начальный момент. Тогда \(a_i = \omega v_i\): \(a_1 = \dfrac{v^2}{2l}\), \(a_2 = \dfrac{v^2}{4l}\), \(a_3 = \dfrac{v^2}{2\sqrt2\,l}\).

Скорость второй черепахи вдвое меньше первой и перпендикулярна ей, поэтому и перемещения \(\vec s_1\), \(\vec s_2\) связаны так же: \(|\vec s_2| = |\vec s_1|/2\) и они перпендикулярны. Так как черепахи встретились в одной точке, \(\vec s_1 = \overrightarrow{AB} + \vec s_2\). Тогда \(AB^2 = s_1^2 + \dfrac{s_1^2}{4} = \dfrac{5s_1^2}{4}\), откуда \(s_1 = \dfrac{2l}{\sqrt5}\).