Автобус

Перейдите в систему отсчёта автобуса: там девочка равноускоренно смещается параллельно дороге, а сама она может удалиться от исходной точки на \(v\tau\). Геометрическое место возможных точек — окружность, и минимальное время соответствует её касанию с траекторией автобуса.

Минимальное время достигается, если девочка бежит прямолинейно и не ждёт автобуса на дороге: она и автобус приходят в точку встречи одновременно. Пусть \(L\) — начальное расстояние вдоль дороги между автобусом и девочкой, тогда \(L^2 = l^2 - s^2\). Из теоремы Пифагора для точки встречи: \((v\tau)^2 = \left(L - \dfrac{a\tau^2}{2}\right)^2 + s^2\). Это приводит к биквадратному уравнению относительно \(\tau\): \(\dfrac{a^2\tau^4}{4} - (aL + v^2)\tau^2 + l^2 = 0\). Из двух корней выбираем меньший, т.е. \(\tau^2 = \dfrac{2}{a^2}\left(aL + v^2 - \sqrt{(aL+v^2)^2 - a^2l^2}\right)\), что и даёт ответ. Подкоренное выражение \((aL+v^2)^2 - a^2l^2 = v^4 + 2av^2L - a^2s^2\) должно быть положительным, иначе девочка не успевает добежать до дороги до того, как автобус наберёт скорость.