Ап стену

Удобно переходить в систему центра масс: до и после соударений скорости шайб там равны по модулю. Энергия, рассеянная при столкновении, связана с модулем скорости в системе центра масс.

Первое столкновение шайб. Скорость центра масс \(u/2\); в системе центра масс скорости шайб равны \(\pm u/2\). После столкновения с рассеянием энергии \(\alpha\) модуль скорости в системе центра масс \(v = \sqrt{1-\alpha}\,u/2\). Обозначим \(\beta = \sqrt{1-\alpha}\). В лабораторной системе скорость первой шайбы \(u_1 = \dfrac{(1+\beta)u}{2}\) направлена к стене, а второй \(u_2 = \dfrac{(1-\beta)u}{2}\).

Время до стены. Первая шайба упруго отражается и движется обратно со скоростью \(\dfrac{(1+\beta)u}{2}\). Время до стены \(t_1 = \dfrac{2s}{(1+\beta)u}\). За это время вторая шайба проходит \(\dfrac{(1-\beta)s}{1+\beta}\), и расстояние между шайбами становится \(\dfrac{2\beta}{1+\beta}s\).

Второе столкновение. Шайбы сближаются со скоростью \(u\), так что второе столкновение происходит через \(t_2 = \dfrac{2\beta s}{(1+\beta)u}\), т.е. при \(t = t_1 + t_2 = \dfrac{2s}{u}\). (Проще: по закону сохранения импульса сумма скоростей шайб \(u\) сохраняется, а суммарное перемещение за время \(t\) равно \(2s\), откуда \(t = 2s/u\).)

После второго столкновения. Скорость центра масс \(-\beta u/2\); после рассеяния скорость первой шайбы в лабораторной системе становится равной нулю, а вторая движется со скоростью \(-\beta u\). Первая шайба удалилась от стены на расстояние \(s_1 = \beta s = s\sqrt{1-\alpha}\) и остановилась.

График \(l(t)\): отрезок от точки \((0,\,s)\) до \(\left(t_1, 0\right)\), отрезок от \((t_1, 0)\) до \(\left(\dfrac{2s}{u},\, s\sqrt{1-\alpha}\right)\), затем горизонтальный луч \(l = s\sqrt{1-\alpha}\).