Задачи › Закон Ома, сопротивление

«Серый ящик»

  1. «Серый ящик»

    ВсОШ 2020/21, 9 кл.
    5/10

    В «сером» ящике собрана электрическая цепь, схема которой приведена на рисунке. К клеммам \(AB\) ящика подключают идеальный вольтметр, а к клеммам \(CD\) — различные резисторы, сопротивления которых в \(n\) раз больше, чем у резистора \(R_1\). Зависимость показаний вольтметра \(U\) от \(n\) представлена в таблице.

    Рисунок

    Таблица (значения \(U\), В при \(n\)): \(n = 1\): \(2{,}2\); \(2\): \(3{,}9\); \(3\): \(5{,}0\); \(4\): \(5{,}4\); \(5\): \(6{,}2\); \(7\): \(6{,}5\); \(8\): \(6{,}9\).

    1. Выведите формулу теоретической зависимости \(U(n)\).

    2. Постройте график зависимости \(U(n)\) по данным таблицы.

    3. Определите напряжение \(U_0\) источника и отношение \(k = R_3/R_2\). Для этого можно либо осуществить линеаризацию зависимости \(U(n)\), либо использовать две пары значений из таблицы и уравнение, полученное в пункте 1.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Найдите напряжения на \(R_3\) и на \(nR_1\) относительно общей точки и запишите разность этих напряжений. Затем подберите переменную \(z(n)\), при которой зависимость становится линейной.

    Ответ

    1) \(U = \dfrac{nU_0}{1+n} - \dfrac{kU_0}{1+k}\);  3) по двум точкам: \(U_0 \approx 14\) В, \(k \approx 0{,}7\); при линеаризации \(z = \dfrac{n}{1+n}\): \(U_0 \approx 12\) В, \(k \approx 0{,}5\).

    Решение

    1. Ток через \(R_2\) и \(R_3\) равен \(I_1 = U_0/(R_2+R_3)\). Напряжение на \(R_3\) (между точками 0 и 1) \[U_{01} = I_1R_3 = \frac{kU_0}{1+k}.\] Аналогично напряжение на резисторе \(nR_1\) (между точками 0 и 2) \[U_{02} = \frac{nR_1U_0}{R_1 + nR_1} = \frac{nU_0}{1+n}.\] Вольтметр показывает разность этих напряжений (знак не важен): \[U = \frac{nU_0}{1+n} - \frac{kU_0}{1+k}.\]

    2. График \(U(n)\) строится по таблице.

    3а. Линеаризация: функция \(z(n) = \dfrac{n}{1+n}\) даёт линейную зависимость \(U(z) = U_0 z - \dfrac{kU_0}{1+k}\). По графику \(U(z)\) находим \(U_0 \approx 12\) В и пересечение с осью \(z\) при \(z = 0{,}33\), откуда \(\dfrac{k}{1+k} = 0{,}33\), то есть \(k \approx 0{,}5\).

    3б. По паре точек \(n = 2\) (\(U = 3{,}85\) В) и \(n = 5\) (\(U = 6{,}20\) В), выбранных по графику \(U(n)\), составляем систему \[3{,}85 = \frac{2}{3}U_0 - \frac{kU_0}{1+k}, \qquad 6{,}20 = \frac{5}{6}U_0 - \frac{kU_0}{1+k}.\] Решение: \(U_0 \approx 14\) В, \(k \approx 0{,}7\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх