Пять пружинок соединены так, как показано на рисунке, и в исходном состоянии ни одна из них не деформирована. Коэффициенты жёсткости трёх пружин равны \(k_1\), а двух оставшихся — \(k_2\). Чему равен эффективный коэффициент жёсткости системы пружин? Систему растягивают, прикладывая к её концам одинаковые силы. При каком соотношении \(k_1\) и \(k_2\) пружина 2 окажется сжатой?

1) \(k = k_1\dfrac{k_1 + 3k_2}{3k_1 + k_2}\); 2) пружина 2 сжата при \(k_2 > k_1\).

Пять пружинок — ВсОШ 2020/21, 9 кл., задача 1.3

Пять пружинок
ВсОШ 2020/21, 9 кл.
4/10
Пять пружинок соединены так, как показано на рисунке, и в исходном состоянии ни одна из них не деформирована. Коэффициенты жёсткости трёх пружин равны \(k_1\), а двух оставшихся — \(k_2\).
1. Чему равен эффективный коэффициент жёсткости системы пружин?
2. Систему растягивают, прикладывая к её концам одинаковые силы. При каком соотношении \(k_1\) и \(k_2\) пружина 2 окажется сжатой?
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Из симметрии удлинения пружин 1 и 3 одинаковы. Составьте условия равновесия точек соединения пружин 1, 2 и 5.
Ответ
1) \(k = k_1\dfrac{k_1 + 3k_2}{3k_1 + k_2}\); 2) пружина 2 сжата при \(k_2 > k_1\).
Решение
Пусть удлинение пружин 1 и 3 равно \(x\) (из симметрии), а пружины 2 — \(y\). Тогда пружины 4 и 5 растянуты на \(x + y\). Из равновесия точки соединения пружин 1, 2 и 5: \[k_1 x = k_1 y + k_2(x + y).\] Отсюда \(y = \dfrac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}\,x\). Если \(y < 0\) при \(x > 0\), пружина 2 сжата; это возможно при \(k_2 > k_1\). При \(k_2 < k_1\) пружина 2 растянута, при \(k_2 = k_1\) не деформирована.

Общее увеличение длины системы \(\Delta l = 2x + y = \dfrac{3k_1 + k_2}{k_1 + k_2}\,x\). Сила, приложенная к концам системы, \[F = F_1 + F_4 = k_1 x + k_2(x+y) = k_1\frac{k_1 + 3k_2}{k_1 + k_2}\,x.\] Эффективный коэффициент жёсткости \[k = \frac{F}{\Delta l} = k_1\,\frac{k_1 + 3k_2}{3k_1 + k_2}.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Пять пружинок

Пять пружинок

Похожие задачи