Тяжелый стакан

Сила Архимеда зависит от погружённой части стакана, а вес — от массы стенок и дна. Всплытие возможно, когда уровень жидкости достигает высоты, при которой сила Архимеда уравновешивает вес, раньше чем стакан упрётся в дно аквариума.

На стакан массы \(m\) вниз действует сила тяжести, вверх — сила Архимеда \(F_A = \rho g\pi hR^2\) и сила реакции опоры \(N\), равная силе, с которой стакан давит на дно аквариума. Следовательно, \(N = mg - F_A\).

1. Толщину стенок и дна считаем упрощённо: объём стенки — как объём листа, из которого свёрнут цилиндр высотой \(L\); объём дна — как произведение внешней площади дна на его толщину. Дважды учтённое кольцо квадратного сечения \(d\cdot d\) на стыке дна и стенки при самой толстой допустимой стенке даёт меньше 8 % объёма дна, поэтому погрешность упрощений заметно меньше 8 %. Итак, \[N = 20\pi\rho g dR(2L+R) - \pi\rho gR^2 h.\]

2. График \(N(h)\) — прямая с угловым коэффициентом \(\pi\rho gR^2\), не зависящим от \(d\) и \(L\). Характерные точки: \(N_0 = 20\pi\rho gdR(2L+R)\) (при \(h=0\)), \(h_0 = \dfrac{20d(2L+R)}{R}\) (там \(N=0\), стакан всплывает), \(N_1 = \pi g R\rho(40dL + 20dR - RL)\). Если уровень жидкости достигает верха стакана, а стакан ещё не всплыл (при \(L < h_0\)), то \(N\) изображается горизонтальным участком на уровне \(N_1\).

3. Стакан всплывёт, если \(L \ge h_0\), то есть \(L \ge \dfrac{20d(2L+R)}{R}\). После преобразований \[L \ge \frac{20dR}{R - 40d}.\] Если \(40d \ge R\), знаменатель не положителен и всплытия нет. Значит, всплытие возможно лишь при \(d < \dfrac{R}{40} = 0{,}025R\), что подтверждает допустимость упрощений.