Испытания автомобилей

Минимальный радиус закругления задаётся предельным ускорением \(u^2/R \le a_{\max}\). Выразите полное время через отношение \(a/a_{\max}\) и найдите его минимум.

Пусть разгон происходит с ускорением \(a\). Время разгона на участке \(AC\) равно \(\sqrt{2L/a}\), достигнутая скорость \(u = \sqrt{2La}\). Минимальный радиус закругления \(R_{\min} = u^2/a_{\max} = 2La/a_{\max}\). Время движения по полуокружности \[\frac{\pi R_{\min}}{u} = \frac{\pi\sqrt{2La}}{a_{\max}}.\] Полное время \[t = \sqrt{\frac{2L}{a}} + \frac{\pi\sqrt{2La}}{a_{\max}} = \sqrt{\frac{2L}{a_{\max}}}\left(\frac{1}{\sqrt{y}} + \pi\sqrt{y}\right),\qquad y = \frac{a}{a_{\max}}.\] Минимум выражения в скобках при \(y = 1/\pi\) равен \(2\sqrt{\pi}\), поэтому \(t_2 = 2\sqrt{\pi}\sqrt{2L/a_{\max}}\). При разгоне с \(a_{\max}\) время \(t_1 = (1+\pi)\sqrt{2L/a_{\max}}\). Отсюда \(\dfrac{t_1}{t_2} = \dfrac{1+\pi}{2\sqrt\pi} \approx 1{,}17\).