Форма цепи висячего моста

Запишите условия равновесия малого участка цепи между соседними тросами, учитывая, что сила натяжения каждого троса одинакова, а нагрузка равномерна по горизонтали.

Рассмотрим элемент цепи между двумя тросами, расположенными через один (см. рисунок). На этот участок действуют две силы натяжения цепи (по краям) и сила со стороны вертикального троса (в центре). Условия равновесия этого элемента дают \[\begin{cases} T(x + \Delta x)\cos\alpha(x + \Delta x) = T(x)\cos\alpha(x), \\ T(x + \Delta x)\sin\alpha(x + \Delta x) = F + T(x)\sin\alpha(x), \end{cases}\] где \(T(x)\) — сила натяжения цепи как функция \(x\), \(\alpha(x)\) — угол наклона цепи к горизонту как функция \(x\), \(\Delta x\) — расстояние между ближайшими тросами, \(F\) — сила натяжения вертикальных тросов (которая по условию одинакова для всех тросов и которая может быть связана с массой моста \(M\) и количеством вертикальных тросов \(N\): \(F = Mg/N\)).

Добавляя и вычитая из первого равенства величину \(T(x + \Delta x)\cos\alpha(x)\) и деля его на \(\Delta x\), получим \[T(x + \Delta x)\left(\frac{\cos\alpha(x + \Delta x) - \cos\alpha(x)}{\Delta x}\right) = -\cos\alpha(x)\left(\frac{T(x + \Delta x) - T(x)}{\Delta x}\right).\] Если считать, что \(\Delta x\) мало, то выражения в скобках представляют собой определения производных. Поэтому \[T'(x)\cos\alpha(x) + T(x)\,\bigl(\cos\alpha(x)\bigr)' = 0 \quad\Rightarrow\quad \bigl(T(x)\cos\alpha(x)\bigr)' = 0,\] где штрих обозначает производную соответствующей функции по \(x\). Отсюда \[T(x)\cos\alpha(x) = A,\] где \(A\) — некоторая постоянная (имеющая смысл горизонтальной составляющей силы натяжения цепи, которая равна горизонтальной составляющей силы, действующей со стороны цепи на пилоны). Аналогичные вычисления со вторым условием равновесия дают \[\bigl(T(x)\sin\alpha(x)\bigr)' = f,\] где \(f = F/\Delta x\) — удельная нагрузка на единицу длины моста. Отсюда \[T(x)\sin\alpha(x) = fx + B,\] где \(B\) — некоторая постоянная. Выражая из первого соотношения силу \(T(x)\) и подставляя её во второе, получим \[A\tg\alpha(x) = fx + B.\] Но тангенс угла наклона цепи к горизонту (к оси \(x\)) есть производная уравнения цепи по переменной \(x\). Поэтому \[A\,y'(x) = fx + B.\] Поскольку при \(x = 0\) (нижняя точка цепи) цепь расположена горизонтально, постоянная \(B\) должна быть взята равной нулю. Так как производная уравнения цепи \(y'(x)\) зависит от \(x\) линейно, то \(y\) зависит от \(x\) квадратично: \[y(x) = \frac{f}{2A}\,x^2 + C,\] где \(C\) — постоянная, которая должна быть выбрана равной нулю, так как при \(x = 0\) \(y = 0\). Таким образом, цепь представляет собой параболу \[y(x) = \frac{f}{2A}\,x^2.\]