Источник и конденсатор

Заряд конденсатора через источник и вольтметр и его разряд через вольтметр дают две экспоненты с разными характерными временами \(\tau_1\) и \(\tau_2\). Их отношение выражается через \(r/R_V\), а само напряжение на вольтметре, подключённом к источнику, даёт ЭДС.

Подключаем последовательно источник, конденсатор и вольтметр, замыкаем цепь и фиксируем время изменения напряжения вольтметра от значения \(U_1\) до \(U_2\). В качестве \(U_1\) нельзя выбирать показания прибора в первые две–три секунды после включения, так как из-за инерции цифрового прибора они недостоверны. Аналогичные измерения повторяем несколько раз, каждый раз отключая конденсатор и замыкая его выводы для полного разряда. Для заряда конденсатора \[\frac{dq}{dt}(2r + R_V) = U_0 - \frac{q}{C}, \qquad q = CU_0\left(1 - e^{-t/\tau_1}\right),\] где \(U_0\), \(r\) — ЭДС и внутреннее сопротивление источника, \(R_V\) — сопротивление вольтметра, \(\tau_1 = C(2r + R_V)\) — характерное время заряда. Напряжение на вольтметре при этом \[U_V = \frac{dq}{dt}(2r + R_V) = \frac{U_0 R_V}{r + R_V}\,e^{-t/\tau_1}.\] Для отношения напряжений, измеренных вольтметром с разницей по времени \(\Delta t\), \[\frac{U_1}{U_2} = e^{\Delta t/\tau_1}, \qquad \text{отсюда} \qquad \tau_1 = \frac{\Delta t}{\ln\dfrac{U_1}{U_2}}.\] Результаты для разных пар \(U_1\) и \(U_2\) приведены в таблице 1. Усреднённое по сериям экспериментов характерное время заряда конденсатора составляет \(\tau_1 = 18{,}83\) с.

Подключаем конденсатор к источнику, держим его подключённым одну-две минуты, затем отключаем. Подключаем к заряженному конденсатору вольтметр и фиксируем время, в течение которого конденсатор разряжается от напряжения \(U_3\) до \(U_4\). Для разряда \[\frac{dq}{dt} = -\frac{q}{(R_V + r)C}, \qquad q = CU_0 e^{-t/\tau_2},\] где \(\tau_2 = (R_V + r)C\) — характерное время разряда через вольтметр. Для напряжения вольтметра \(U_V = CU_0 e^{-t/\tau_2}\). Для отношения напряжений \[\frac{U_3}{U_4} = e^{\Delta t/\tau_2}, \qquad \text{отсюда} \qquad \tau_2 = \frac{\Delta t}{\ln\dfrac{U_3}{U_4}}.\] Так же, как и выше, \(U_3\) нельзя выбирать в первые две–три секунды. Результаты приведены в таблице 2. Усреднённое значение \(\tau_2 = 11{,}30\) с.

Внутреннее сопротивление источника находим по отношению времён: \[\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{2r + R_V}{r + R_V} = 1{,}67, \qquad \frac{r}{R_V} \approx 2{,}0, \qquad r \approx 2{,}0~\text{МОм}.\] Для ЭДС подключим вольтметр к источнику. Напряжение на вольтметре \(U_V = U_0\dfrac{R_V}{R_V + r}\); экспериментально \(U_V = 3{,}24\) В. Отсюда \[U_0 = U_V\,\frac{R_V + r}{R_V} \approx 9{,}72~\text{В}.\] Ёмкость конденсатора \[C = \frac{\tau_1}{2r + R_V} \approx 3{,}75~\text{мкФ}.\]