Исследуем шприц (2)

Уравновесьте линейку на опоре и подвесьте к ней шприц: условие равновесия моментов до и после заполнения шприца водой даёт его массу. Затем подберите объём неизвестной жидкости, при котором шприц безразлично плавает полностью погружённым.

1. Координата центра тяжести линейки найдена уравновешиванием её на стержне, прикреплённом к краю стола зажимом: \(x_{\text{л}} = (252{,}0 \pm 0{,}5)\) мм.

Шприц подвешивается к линейке, которая служит рычагом и противовесом; точка опоры линейки на стержень при равновесии имеет координату \(x_1\), точка подвеса шприца — \(x_{\text{ш}}\). Затем шприц заполняется водой (объём \(V = 6{,}0\) мл), и при той же координате \(x_{\text{ш}}\) находится новая точка опоры \(x_2\). Условия равновесия: \[m\,(x_{\text{ш}} - x_1) = m_{\text{л}}\,(x_1 - x_{\text{л}}), \qquad (1)\] \[(\rho_{\text{в}} V + m)\,(x_{\text{ш}} - x_2) = m_{\text{л}}\,(x_2 - x_{\text{л}}), \qquad (2)\] где \(m_{\text{л}}\) — масса линейки. Из них масса шприца \[m = \frac{\rho_{\text{в}} V (x_1 - x_{\text{л}})(x_{\text{ш}} - x_2)}{(x_2 - x_1)(x_{\text{ш}} - x_{\text{л}})}. \qquad (3)\]

2. Заполняем шприц неизвестной жидкостью до объёма \(V\), не меняя его положение на линейке, и снова добиваемся равновесия (точка опоры \(x_3\)): \[(\rho V + m)\,(x_{\text{ш}} - x_3) = m_{\text{л}}\,(x_3 - x_{\text{л}}). \qquad (4)\] Отсюда плотность жидкости \[\rho = \rho_{\text{в}}\,\frac{(x_{\text{ш}} - x_2)(x_3 - x_1)}{(x_2 - x_1)(x_{\text{ш}} - x_3)}. \qquad (5)\] Для оценки погрешности проведены измерения для серии положений шприца (таблица); результаты по строкам: \(x_{\text{ш}}\) (мм) и далее \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) (мм), \(m\) (г), \(\rho\) (г/см\(^3\)).

Усредняя значения, получаем \(\rho = (1{,}15 \pm 0{,}09)\) г/см\(^3\) (погрешность \(7{,}7\%\)) и \(m = (4{,}3 \pm 0{,}5)\) г (погрешность \(12\%\)).

3. Плотность материала шприца. Шприц плавает в воде, и вытесненный объём воды точно измерить нечем. Но можно добиться безразличного равновесия шприца в полностью погружённом состоянии, отливая часть неизвестной жидкости обратно в стаканчик. Такое положение достигается при объёме неизвестной жидкости в шприце \(V_1 = (3{,}0 \pm 0{,}2)\) мл. Тогда, приравнивая вес шприца с жидкостью выталкивающей силе, \[\rho V_1 + m = \rho_{\text{в}}\left(V_1 + \frac{m}{\rho_{\text{ш}}}\right),\] откуда \[\rho_{\text{ш}} = \frac{\rho_{\text{в}}}{1 + \dfrac{(\rho - \rho_{\text{в}})V_1}{m}} = 0{,}90 \pm 0{,}07~\text{г/см}^3 \quad (\text{погрешность } 8\%).\] Погрешность оценена методом границ. Гидростатическое взвешивание менее точно при данном оборудовании: высота стакана ограничивает количество жидкости, которую можно набрать в шприц так, чтобы он был полностью погружён и не касался дна.