Облако из Звезды Смерти

Какие силы действуют на пылинку на расстоянии \(x\) от центра? Учтите, что на неё действуют только пылинки, лежащие ближе к центру. Запишите закон сохранения энергии для одной пылинки и найдите, при каком \(x\) её скорость у корабля максимальна.

Пусть масса одной пылинки \(m\), заряд \(q\); по условию \(q/m = Q/M\). Пылинки отталкиваются по закону Кулона и притягиваются по закону всемирного тяготения, отталкивание считаем более существенным (иначе облако сжимается, и пылинки не долетят до повстанцев). В силу симметрии облако остаётся шарообразным.

На пылинку, находящуюся на расстоянии \(x\) от центра, действуют только пылинки, расположенные ближе к центру: они образуют шар с зарядом \(Q_x = Q\dfrac{x^3}{R_0^3}\) и массой \(M_x = M\dfrac{x^3}{R_0^3}\), действующий как точечный в центре. Поэтому ускорение \(a \sim x\), пылинки с меньшим \(x\) движутся медленнее, и слои облака не перемешиваются: величины \(Q_x\) и \(M_x\) для данной пылинки сохраняются.

Закон сохранения энергии для пылинки, стартовавшей с расстояния \(x\), при подлёте к кораблю (расстояние \(s\)): \[\frac{kqQ_x - GmM_x}{x} = \frac{mV^2}{2} + \frac{kqQ_x - GmM_x}{s}.\] Отсюда, с учётом \(q/m = Q/M\): \[V^2 = \frac{2(kQ^2 - GM^2)}{M R_0^3}\left(x^2 - \frac{x^3}{s}\right).\] Выражение в скобках максимально при \(x = \dfrac{2s}{3}\). Если \(R_0 \ge \dfrac{2s}{3}\), то \[V = \sqrt{\frac{8(kQ^2 - GM^2)s^2}{27MR_0^3}}.\] Если \(R_0 < \dfrac{2s}{3}\), максимум достигается на границе облака \(x = R_0\): \[V = \sqrt{\frac{2(kQ^2 - GM^2)}{M}\cdot\frac{s - R_0}{sR_0}}.\]