Грузы на вращающемся клине

Подсказка

Сначала найдите условие равновесия в исходном состоянии без вращения. Затем при вращении рассмотрите два случая: нить вертикальна (при малой \(\omega\)) и нить отклонилась от вертикали (при большой \(\omega\)). Направление силы трения заранее неизвестно — проверьте его знак после решения.

Решение

Пока система не вращается, груз \(m\) висит неподвижно, и натяжение \(T = mg\). Для груза \(M\) на клине (проекции на оси, направленные вдоль и перпендикулярно наклонной плоскости): \[N = Mg\cos\alpha, \qquad Mg\sin\alpha + T = F_\text{тр} \le \mu N.\] С учётом \(\sin\alpha = \tfrac12\), \(\cos\alpha = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\mu = 1\): \[\frac{m}{M} \le \frac{\sqrt{3} - 1}{2}. \tag{7}\]

При вращении: если \(\omega < \omega_0 = \sqrt{g/l}\), нить вертикальна и \(T = mg\). Если \(\omega > \omega_0\), груз \(m\) отклоняется на угол \(\beta\) от вертикали, описывая окружность радиуса \(r = l\sin\beta\); из условий \(m\omega^2 l\sin\beta = T\sin\beta\) и \(mg = T\cos\beta\) получаем \(T = m\omega^2 l\) и \(\cos\beta = \dfrac{g}{\omega^2 l}\). Вертикальное положение при этом становится неустойчивым.

Груз \(M\) движется по окружности радиуса \(R = l\cos\alpha\) с центростремительным ускорением \(\omega^2 l\cos\alpha\). Направление силы трения предполагаем вверх по плоскости: \[N = Mg\cos\alpha + M\omega^2 l\cos\alpha\sin\alpha, \qquad F_\text{тр} = T + Mg\sin\alpha - M\omega^2 l\cos^2\alpha.\] Подставляя \(T\) для каждого случая, \(\mu = 1\), \(\alpha = 30^\circ\), \(g = \omega_0^2 l\), получаем:

• при \(\omega < \omega_0\) условие \(F_\text{тр} \le \mu N\) выполняется при (7), и для \(x = m/M\) при любой \(\omega\) новых ограничений нет;

• при \(\omega > \omega_0\) (нить отклонена) из \(F_\text{тр} \ge 0\) и \(F_\text{тр} \le \mu N\) находятся интервалы для \(x\); при изменении знака силы трения получается условие отсутствия проскальзывания \(\dfrac{3-\sqrt{3}}{4} - \dfrac{(\sqrt{3}+1)\omega_0^2}{2\omega^2} \le x\) и условие того, что сила трения направлена вниз, \(x \le \dfrac{3}{4} - \dfrac{\omega_0^2}{2\omega^2}\).

Объединяя эти интервалы, получаем, что система остаётся в равновесии при \[\frac{3-\sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{3}+1)\,\omega_0^2}{2\omega^2} \le x \le \frac{\sqrt{3}-1}{2}.\] Левое неравенство нетривиально при \(\omega > \omega_\text{кр}\), где \(\omega_\text{кр}^2 = \dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{3-\sqrt{3}}\,\omega_0^2\). Поскольку до вращения система была в равновесии, итог такой: при \(\omega \le \omega_\text{кр}\) система остаётся в равновесии при условии (7); при \(\omega \ge \omega_\text{кр}\) дополнительно выполняется \(\dfrac{3-\sqrt{3}}{4} - \dfrac{(\sqrt{3}+1)\omega_0^2}{2\omega^2} \le \dfrac{m}{M}\).